电磁仿真算法中有限元法

文章描述:-2022年3月30日发(作者:霍士廉)1 电磁仿真算法中的有限元法 1.1 常规的电磁计算方式简介 从上世纪50年代以来,伴随着运算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃进展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法和时域有限差分法等属于时域技术的算法。除这些之外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文按照国内外计算电磁学的进展状况,对

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电磁仿真算法中有限元法2022年3月30日发(作者:霍士廉)


1 电磁仿真算法中的有限元法
1.1 常规的电磁计算方式简介
从上世纪50年代以来,伴随着运算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃进展
起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输
线矩阵法、时域积分方程法和时域有限差分法等属于时域技术的算法。除这些之
外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文按照国内外计算电磁学的进展状
况,对日常生活中比较常常利用的电磁计算方式做了介绍,并对有限元法做了重点
说明。
⑴矩量法
矩量法属于电磁场的数值计算方式中频域技术的一种, 它的大体原理是利
用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求
函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过运
算机进行大量的数值计算从而取得数值结果。该方式在求解非均勻和不规则形状
对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在必然程度上受到限制。矩量法的特点
就是适用于求解微积分方程, 而且求解方式统一简单。但缺点就是会占用大量运
算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法
单矩法是一种解析方式和数值方式相结合的混合数值算法法,该方式的关键
在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全数包括
在内,以便将内外场进行隔离。外边的散射场单独利用其他函数表示,而包围的内
部区域利用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。此方式对于计算复杂形体乃至复
杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手腕。
(3)时域有限差分法
时域有限差分法(FDTD)近几年来愈来愈受到各方的重视, 因为一方面它处
置庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它
不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依托时刻变量求解麦克斯韦方程组,
能够在有限的时刻和体积内对场进行数据抽样, 如此同时也能够保证介质边界
条件自动知足。吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播进程的数


字拟合,它是法拉第电磁感应定律的专门好表现。在时域有限盖分法中,还应该注
意散的问题。因为散会致严峻的后果,比如绕射、波形畸变和各向异性等。
造成散是因为在时域有限差分法剖分的网格中,模拟的波的波速会随着传播方
向、波长等发生转变。与此同时,为了保证时域有限差分算法的精准性,对不同剖
分的网格和介质边界产生的散,也要做定量的分析研究。对计算自由空间的电
磁问题,由于运算机只能模拟有限的空间,所以网格不可能无穷大,这就要求网格
在引发明显的散的情形下进行截断,就可以使得在剖分区域内的传播就像在自
由空间一样。
(4)传输线矩阵法
传输线矩阵法( Transmission-Line Matrix, TLM )利用的是电磁场传播与电压
和电流在空间传输线中传播的类似性, 基于惠更斯波动原理, 通过将持续波的离
散化,分析出不同子波在不同传输线中的传输特性。但是从电磁场问题求解的角
度讲, TLM仍然是求解知足必然边界条件的麦克斯韦方程组, 不过该方式利用的
是时刻和空间的离散, 应用彼此平行且连接的传输线来模拟所要求解的导波结
构。通过研究脉冲(单或持续)在网格中的传播取得波导结构的时域响应, 并对时
域响应进行傅里叶变换, 从而能够在很宽的频率范围内得到波结构的频率特性。
另外,按照等效原理,传输线上的电流能够看做磁场作用的结果,电伍能够看做电
场作用的结果,因此,同时能够取得波结构内场区的特性。
传输线矩阵法的这些特点,能够克服一般频域分析方式所难以克服的困难:
① 不能处置具有事变特性的结构和介质的场问题; ② 由于频域分析方式基于
叠加原理,所以较难处置非线性问题; ③ 由于一般来讲,频域分析方式都需要
进行空间的傅里叶变换,所以很难处置拥有复杂结构、不规则的结构和边界的场
问题。
除此之外,传输线矩阵法还具有以下一些长处: ① 该方式并非需要对对复杂
的代数方程组进行求解,从而节约了运算时刻和资源; ② 它能够通过改变鼓励
脉冲的形状和位置, 同时获取得波结构的主模和高次模的传输线和场散布; ③
它能够将有源器件中信号的传播与作用进程重现,有专门大的现实意义; ④ 该
方式的理论依据充分,易于编写代码实现且容易移植,处置不同的对象,仅仅改动
相应的文件信息如介质电磁参数等,计算起来很方便。
(5)高频近似法


高频近似法的应用范围有必然的局限性。大尺寸的物体,若是其电磁特性参数随
着其他一些参数转变的范围较小,即这种情形下电磁场的传播具有区域性,这种情
形下能够釆用高频近似法。

1.2 有限元法
有限元法是上世纪50年代开始在工程上投入应用的,那时还仅仅用于分析
飞机的应力,而此刻在工程领域已成为标志性的数值算法。1965年有限元法才被
引入到电磁领域。从这以后,关于电磁场方面的有限元法的讨论层出不穷,其中具
有代表性的研究有80年代电磁材料特性的实验研究、电磁规范的新研究等,直到
90年代,技术上的冲破,使得有限元法又迈上了新的台阶。近些年,自适应网格剖分
技术和加密技术的进展,为有限元法的进展提供了专门好的平台。自适应网格剖
分技术按照对待求场量函数的求解结果进行网格剖分的调整,使其剖分的更细更
密,然后在一些网格剖分比较密的区域,采用高阶的插值函数,使得测量精度更一
步提高。
同时,有限元法与相关学科的紧密结合,也有了新的进展,比如三维场的建模求解、
耦合问题等。
有限元法自身的特点:
(1)网格剖分的疏密和形状具有机动性。即同一剖分区域,按照场转变的情形,一些
地方剖分的较密,其他地方较疏,如此能够按照需要相应的减小计算量,提高效率。
网格形状的好坏,也会对结果造成影响,因此,常常还需耍对网格进行调整优化等。
(2)用有限元法最终把分析对象转化成代数方程组后,其高阶系数組阵具有对称等
特征,能够采用特殊的处置方式,如对非零元素的变带宽紧缩存储等,最终生成的
总系数矩阵将是系稀疏矩阵。如此就会给运算机内存和运算带来便利,提高效率。
(3)由于第二、三类边界条件是自动知足的,所以无需特殊处置,仅需要对第一类边
界条件做特殊处置。
⑷有限元法的各个步骤不是紧密相连,环环相扣的,容易用代码进行移植。目前应
用较普遍的软件有ASYS、ASOFT等,而本文将釆用ASYS作为仿真工具,
进行建仿照真。
1.2.1 有限元法的大体原理


有限元法,依照获取方程组途径的不同,分为两种:迎辽金有限元法和变分有
限元法。前者就是咱们常说的有限元法,它的指导思想分为三个层次:第一就是问
题的转化, 即把边值问题的求解转化成泛函问题; 第二是方程组的转化,就是将
麦克斯韦方程组转化为最终的代数方程组; 最后就是场量的转化, 把持续的场量
离散化。因此,当求解电磁问题用到有限元法时,就要注意三个层次的把握,当只要
做好了这三个层次的工作,才是正确有效快速解决问题的靠得住途径。

1.2.2 电磁场边值问题和与之对应的泛函
对于电磁场边值问题,按照给定的边界条件, 拉普拉斯方程或泊松方程即有唯一
解。一般来讲,边界条件有以下三种:
第一类边界条件:所求的位函数在区域边界的值为已知函数。

f

x

(4.1)
第二类边界条件:所求的位函数在边界区域上的法向方向导数为已知函数。


f

x

(4.2)
n
第三类边界条件:位函数及法向导数的线性组合已知。

f
1

x



f
2

x

(4.3)
n
所对应的泛函求解极值方程别离为:
F




1
2

|

|dV


dVmin
(4.4)

2
vv
(4.5)
这三种边界条件中第一、二类边值问题对应的的泛函方程为公式(4.4),第三类
边值问题对应的泛函方程为公式(4.5)。利用泛函求解极值的进程中, 第一类边
界条件并非能自动知足,必需由人来手动解决, 称为强加边界条件, 而与之对应
的称为条件变分问题。第二、三类条件则能够自动知足, 就又称为自然边界条件,
与之对应的则称为无条件变分问题。
1.2.3 有限元方程的求解


成立相应的泛函后,接下來要做的工作就是区域的剖分离散。
W

P
(4.6)

|
x1
f

x

(4.7)
上式(4.6)和(4.7)就是通过泛函离散后取得的有限元方程组。直接法、迭代法
和优化算法都是目前求解的主要方式。
(1)直接法是最简单的方式,理论上有限次数的计算,即可取得问题的解,但考
虑到运算机内存和字长的因素,结果不会很精准。与此同时,计算结果的准确度会
明显降低随着有限元方程系数矩阵阶数的增加。因此,该方式适用于系数矩阵阶
数较低时。
(2)迭代法,中心思想其实就是一种极限的思想, 就是使得方程近似于线性方
程组,然后利用求解线性方程组的方式从而求得精准解。通过编写代码的方式能
够实现迭代法,但与方式(1)存在类似的问题,当出现很多次迭代时,受运算机内存
的影响,计算速度会很慢,相应时刻变得很长。
(3)优化算法的第一步是设定初始值,然后在分析对象的求解范围内肯定一个
使得对象函数值不断减小的方向和步长,然后不断继续下去,直到知足预先设定的
收敛误差为止。
1.2.4 有限元网格的划分
用有限元法进行分析的首要任务就是对分析对象进行逻辑分析,用数学语言
进行描述,将需要描述的区域进行离散,剖分。网格形状划分的好坏,会对计算结果
造成不同程度的影响。对求解区域进行快速有效的剖分这一问题,曾经是有限元
法进展的一个关键。但随着科学技术的进步,在该方式的演进上,涌现出了很多分
支方式,自适应网格剖分就是其中的代表。
进行求解剖分时,需要遵循以下规范:
(1)几何规范: 在形状多变的几何区域,需要对其进行较密的剖分。另外,对于边界
区域,结点的设置应使得能够还原几何形状。网格形状尽可能正常,避免奇形怪状
的区域出现。
(2)技术规范: 在需要细致分析的部份,需要更细化的网格划分。
(3)物理规范: 区域剖分密度在场量转变较大的地方,应该适当高些。当取得了初


始的网格后,一般来讲,还需要对其进行加密细分,以期更适用于仿真情形。另
外,网格形状的好坏,也会对计算结果造成影响,因此,常常还需要对生成的网格进
行调整优化等。
1.2.5 有限元法的建模
利用有限元法的建模进程包括下面几个程序:
(1将整体区域进行离散化。这是重要的一步,因为区域离散质量的好坏,直
接关系到计算数值结果的精准度和计算所需时刻。
(2选择适合的插值函数。插值是离散函数逼近的途径,在离散区域内,通过
结点值进行。
(3方程组的成立。第一利用变分的思想方式对麦克斯韦方程组进行考虑,
以成立适合的误差泛函,第二,将子域内小的线性表达式写入全域矩阵,最后利用
边界条件取得最终形式的方程。
(4方程组的求解。最终的方程组是两种形式:肯定型和本征值型。其中,肯
定型方程组的解与福射杂散等肯定性问题相关; 而本征值方程组与诸如波导中
的波传输和腔体中的谐振等无源问题有关。


1 电磁仿真算法中的有限元法
1.1 常规的电磁计算方式简介
从上世纪50年代以来,伴随着运算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃进展
起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输
线矩阵法、时域积分方程法和时域有限差分法等属于时域技术的算法。除这些之
外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。本文按照国内外计算电磁学的进展状
况,对日常生活中比较常常利用的电磁计算方式做了介绍,并对有限元法做了重点
说明。
⑴矩量法
矩量法属于电磁场的数值计算方式中频域技术的一种, 它的大体原理是利
用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求
函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过运
算机进行大量的数值计算从而取得数值结果。该方式在求解非均勻和不规则形状
对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在必然程度上受到限制。矩量法的特点
就是适用于求解微积分方程, 而且求解方式统一简单。但缺点就是会占用大量运
算机内存,影响计算速度。
(2)单矩法
单矩法是一种解析方式和数值方式相结合的混合数值算法法,该方式的关键
在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全数包括
在内,以便将内外场进行隔离。外边的散射场单独利用其他函数表示,而包围的内
部区域利用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。此方式对于计算复杂形体乃至复
杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手腕。
(3)时域有限差分法
时域有限差分法(FDTD)近几年来愈来愈受到各方的重视, 因为一方面它处
置庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它
不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依托时刻变量求解麦克斯韦方程组,
能够在有限的时刻和体积内对场进行数据抽样, 如此同时也能够保证介质边界
条件自动知足。吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播进程的数


字拟合,它是法拉第电磁感应定律的专门好表现。在时域有限盖分法中,还应该注
意散的问题。因为散会致严峻的后果,比如绕射、波形畸变和各向异性等。
造成散是因为在时域有限差分法剖分的网格中,模拟的波的波速会随着传播方
向、波长等发生转变。与此同时,为了保证时域有限差分算法的精准性,对不同剖
分的网格和介质边界产生的散,也要做定量的分析研究。对计算自由空间的电
磁问题,由于运算机只能模拟有限的空间,所以网格不可能无穷大,这就要求网格
在引发明显的散的情形下进行截断,就可以使得在剖分区域内的传播就像在自
由空间一样。
(4)传输线矩阵法
传输线矩阵法( Transmission-Line Matrix, TLM )利用的是电磁场传播与电压
和电流在空间传输线中传播的类似性, 基于惠更斯波动原理, 通过将持续波的离
散化,分析出不同子波在不同传输线中的传输特性。但是从电磁场问题求解的角
度讲, TLM仍然是求解知足必然边界条件的麦克斯韦方程组, 不过该方式利用的
是时刻和空间的离散, 应用彼此平行且连接的传输线来模拟所要求解的导波结
构。通过研究脉冲(单或持续)在网格中的传播取得波导结构的时域响应, 并对时
域响应进行傅里叶变换, 从而能够在很宽的频率范围内得到波结构的频率特性。
另外,按照等效原理,传输线上的电流能够看做磁场作用的结果,电伍能够看做电
场作用的结果,因此,同时能够取得波结构内场区的特性。
传输线矩阵法的这些特点,能够克服一般频域分析方式所难以克服的困难:
① 不能处置具有事变特性的结构和介质的场问题; ② 由于频域分析方式基于
叠加原理,所以较难处置非线性问题; ③ 由于一般来讲,频域分析方式都需要
进行空间的傅里叶变换,所以很难处置拥有复杂结构、不规则的结构和边界的场
问题。
除此之外,传输线矩阵法还具有以下一些长处: ① 该方式并非需要对对复杂
的代数方程组进行求解,从而节约了运算时刻和资源; ② 它能够通过改变鼓励
脉冲的形状和位置, 同时获取得波结构的主模和高次模的传输线和场散布; ③
它能够将有源器件中信号的传播与作用进程重现,有专门大的现实意义; ④ 该
方式的理论依据充分,易于编写代码实现且容易移植,处置不同的对象,仅仅改动
相应的文件信息如介质电磁参数等,计算起来很方便。
(5)高频近似法


高频近似法的应用范围有必然的局限性。大尺寸的物体,若是其电磁特性参数随
着其他一些参数转变的范围较小,即这种情形下电磁场的传播具有区域性,这种情
形下能够釆用高频近似法。

1.2 有限元法
有限元法是上世纪50年代开始在工程上投入应用的,那时还仅仅用于分析
飞机的应力,而此刻在工程领域已成为标志性的数值算法。1965年有限元法才被
引入到电磁领域。从这以后,关于电磁场方面的有限元法的讨论层出不穷,其中具
有代表性的研究有80年代电磁材料特性的实验研究、电磁规范的新研究等,直到
90年代,技术上的冲破,使得有限元法又迈上了新的台阶。近些年,自适应网格剖分
技术和加密技术的进展,为有限元法的进展提供了专门好的平台。自适应网格剖
分技术按照对待求场量函数的求解结果进行网格剖分的调整,使其剖分的更细更
密,然后在一些网格剖分比较密的区域,采用高阶的插值函数,使得测量精度更一
步提高。
同时,有限元法与相关学科的紧密结合,也有了新的进展,比如三维场的建模求解、
耦合问题等。
有限元法自身的特点:
(1)网格剖分的疏密和形状具有机动性。即同一剖分区域,按照场转变的情形,一些
地方剖分的较密,其他地方较疏,如此能够按照需要相应的减小计算量,提高效率。
网格形状的好坏,也会对结果造成影响,因此,常常还需耍对网格进行调整优化等。
(2)用有限元法最终把分析对象转化成代数方程组后,其高阶系数組阵具有对称等
特征,能够采用特殊的处置方式,如对非零元素的变带宽紧缩存储等,最终生成的
总系数矩阵将是系稀疏矩阵。如此就会给运算机内存和运算带来便利,提高效率。
(3)由于第二、三类边界条件是自动知足的,所以无需特殊处置,仅需要对第一类边
界条件做特殊处置。
⑷有限元法的各个步骤不是紧密相连,环环相扣的,容易用代码进行移植。目前应
用较普遍的软件有ASYS、ASOFT等,而本文将釆用ASYS作为仿真工具,
进行建仿照真。
1.2.1 有限元法的大体原理


有限元法,依照获取方程组途径的不同,分为两种:迎辽金有限元法和变分有
限元法。前者就是咱们常说的有限元法,它的指导思想分为三个层次:第一就是问
题的转化, 即把边值问题的求解转化成泛函问题; 第二是方程组的转化,就是将
麦克斯韦方程组转化为最终的代数方程组; 最后就是场量的转化, 把持续的场量
离散化。因此,当求解电磁问题用到有限元法时,就要注意三个层次的把握,当只要
做好了这三个层次的工作,才是正确有效快速解决问题的靠得住途径。

1.2.2 电磁场边值问题和与之对应的泛函
对于电磁场边值问题,按照给定的边界条件, 拉普拉斯方程或泊松方程即有唯一
解。一般来讲,边界条件有以下三种:
第一类边界条件:所求的位函数在区域边界的值为已知函数。

f

x

(4.1)
第二类边界条件:所求的位函数在边界区域上的法向方向导数为已知函数。


f

x

(4.2)
n
第三类边界条件:位函数及法向导数的线性组合已知。

f
1

x



f
2

x

(4.3)
n
所对应的泛函求解极值方程别离为:
F




1
2

|

|dV


dVmin
(4.4)

2
vv
(4.5)
这三种边界条件中第一、二类边值问题对应的的泛函方程为公式(4.4),第三类
边值问题对应的泛函方程为公式(4.5)。利用泛函求解极值的进程中, 第一类边
界条件并非能自动知足,必需由人来手动解决, 称为强加边界条件, 而与之对应
的称为条件变分问题。第二、三类条件则能够自动知足, 就又称为自然边界条件,
与之对应的则称为无条件变分问题。
1.2.3 有限元方程的求解


成立相应的泛函后,接下來要做的工作就是区域的剖分离散。
W

P
(4.6)

|
x1
f

x

(4.7)
上式(4.6)和(4.7)就是通过泛函离散后取得的有限元方程组。直接法、迭代法
和优化算法都是目前求解的主要方式。
(1)直接法是最简单的方式,理论上有限次数的计算,即可取得问题的解,但考
虑到运算机内存和字长的因素,结果不会很精准。与此同时,计算结果的准确度会
明显降低随着有限元方程系数矩阵阶数的增加。因此,该方式适用于系数矩阵阶
数较低时。
(2)迭代法,中心思想其实就是一种极限的思想, 就是使得方程近似于线性方
程组,然后利用求解线性方程组的方式从而求得精准解。通过编写代码的方式能
够实现迭代法,但与方式(1)存在类似的问题,当出现很多次迭代时,受运算机内存
的影响,计算速度会很慢,相应时刻变得很长。
(3)优化算法的第一步是设定初始值,然后在分析对象的求解范围内肯定一个
使得对象函数值不断减小的方向和步长,然后不断继续下去,直到知足预先设定的
收敛误差为止。
1.2.4 有限元网格的划分
用有限元法进行分析的首要任务就是对分析对象进行逻辑分析,用数学语言
进行描述,将需要描述的区域进行离散,剖分。网格形状划分的好坏,会对计算结果
造成不同程度的影响。对求解区域进行快速有效的剖分这一问题,曾经是有限元
法进展的一个关键。但随着科学技术的进步,在该方式的演进上,涌现出了很多分
支方式,自适应网格剖分就是其中的代表。
进行求解剖分时,需要遵循以下规范:
(1)几何规范: 在形状多变的几何区域,需要对其进行较密的剖分。另外,对于边界
区域,结点的设置应使得能够还原几何形状。网格形状尽可能正常,避免奇形怪状
的区域出现。
(2)技术规范: 在需要细致分析的部份,需要更细化的网格划分。
(3)物理规范: 区域剖分密度在场量转变较大的地方,应该适当高些。当取得了初


始的网格后,一般来讲,还需要对其进行加密细分,以期更适用于仿真情形。另
外,网格形状的好坏,也会对计算结果造成影响,因此,常常还需要对生成的网格进
行调整优化等。
1.2.5 有限元法的建模
利用有限元法的建模进程包括下面几个程序:
(1将整体区域进行离散化。这是重要的一步,因为区域离散质量的好坏,直
接关系到计算数值结果的精准度和计算所需时刻。
(2选择适合的插值函数。插值是离散函数逼近的途径,在离散区域内,通过
结点值进行。
(3方程组的成立。第一利用变分的思想方式对麦克斯韦方程组进行考虑,
以成立适合的误差泛函,第二,将子域内小的线性表达式写入全域矩阵,最后利用
边界条件取得最终形式的方程。
(4方程组的求解。最终的方程组是两种形式:肯定型和本征值型。其中,肯
定型方程组的解与福射杂散等肯定性问题相关; 而本征值方程组与诸如波导中
的波传输和腔体中的谐振等无源问题有关。

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电磁仿真算法中有限元法

发布时间:2022-03-30 03:07:30
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评论列表 (有 18 条评论,344人围观)
大富山庄V铁粉20 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
传输线矩阵法还具有以下一些长处
天工V铁粉29 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
按照等效原理
智能电视V铁粉29 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
处置不同的对象
如何制作博客V铁粉17 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
有专门大的现实意义; ④ 该方式的理论依据充分
外婆家团购V铁粉22 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
当出现很多次迭代时
宁波烟草网V铁粉29 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
最终的方程组是两种形式
新时代通达信V铁粉17 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
基于惠更斯波动原理
葛粉的功效V铁粉9 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
-
最好的眼部整形医生V铁粉23 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
第一利用变分的思想方式对麦克斯韦方程组进行考虑
盐酸伐昔洛韦V铁粉13 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
将子域内小的线性表达式写入全域矩阵
新生儿肝炎综合征V铁粉17 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
(4)传输线矩阵法 传输线矩阵法( Transmission-Line Matrix
光着我的脚丫子V铁粉9 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
(3)优化算法的第一步是设定初始值
神盾局特工下载V铁粉26 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
不规则的结构和边界的场问题
littlesubgirlV铁粉29 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
并对时域响应进行傅里叶变换
ti论坛V铁粉7 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
f1xf2x (4.3) n所对应的泛函求解极值方程别离为
stdailyV铁粉2 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
那时还仅仅用于分析飞机的应力
宏图霸业V铁粉30 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
区域剖分密度在场量转变较大的地方

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