有限元法基本思想和分类

文章描述:-2022年3月30日发(作者:卓秉勋)有限元法基本思想和分类1 有限元法基本思想有限元法是在连续体上直接进⾏近似计算的⼀种数值⽅法,其基本思想通过下⾯的例⼦来说明。图1简答说明了早期数学上求解圆⾯积的近似⽅法。⾸先将连续的圆分割成⼀些三⾓形,求出每个三⾓形的⾯积,再将每个⼩三⾓形⾯积相加,即可得到圆⾯积的近似值。前⾯是“分”的过程,后⾯是“合”的过程。之所以要分,是因为三⾓形⾯积容易求得。这样简

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有限元法基本思想和分类2022年3月30日发(作者:卓秉勋)


有限元法基本思想和分类
1 有限元法基本思想
有限元法是在连续体上直接进⾏近似计算的⼀种数值⽅法,其基本思想通过下⾯的例⼦来说明。图1简答说明了早期数学上求解圆⾯积的近
似⽅法。⾸先将连续的圆分割成⼀些三⾓形,求出每个三⾓形的⾯积,再将每个⼩三⾓形⾯积相加,即可得到圆⾯积的近似值。前⾯
是“分”的过程,后⾯是“合”的过程。之所以要分,是因为三⾓形⾯积容易求得。这样简单的⼀分⼀合,就很容易求出圆⾯积的近似值。
体现了有限元法的基本思想,即“拆整为零,集零为整”。
“拆整为零”即“分”的过程,具体包括
1)离散化
将连续的求解区域离散为有限个部分的集合,并认为各部分只通过有线个点连接起来。例如图2,可假想连续体(a)由许多⼩部件(b)组
成,这些规则或不规则的⼩部分成为单元(element)。单元之间只通过有限个点连接起来,如(c)所⽰,单元①与单元②只在1、2两点
相连,这些连接点称为节点(node)。这⼀过程称有限元离散化过程。
2)假定单元场函数
在每个单元内假定近似场函数(位移函数或应⼒函数),并将单元内的场函数由该单元各个节点的数值通过函数插值表⽰,这样,未知的场
函数(或包括其导数)在单元内各个节点的数值就成为新的未知量(其个数称为⾃由度),从⽽使⼀个连续的⽆限⾃由度问题变成离散的有
限⾃由度问题。
3)单元分析
对每个单元分析,求出单元的特性。
“集零为整”即“合”的过程,将单元的特性装配在⼀起得到离散体整体的特性,并利⽤数值计算⽅法得到整个求解域上场函数的近似值。
2 有限元法分类
有限元法按基本未知量可分为三⼤类,即有限元位移法、有限元⼒法、有限元混合法。在有限元位移法中,选节点位移作为基本未知量;
在有限元⼒法中,选节点⼒作为基本未知量;在有限元混合法中,⼀部分基本未知量为节点位移,另⼀部分基本未知量为节点⼒。有限元位
移法计算过程的系统性、规律性强,特别适宜编程求解。⼀般除板壳问题的有限元法应⽤⼀定量的混合法外,其余全部采⽤有限元位移法。
有限元法按求解问题的类型可分为两⼤类:线弹性有限元法和⾮线性有限元法。其中线弹性有限元法是⾮线性有限元法的基础。
1)线弹性有限元法
线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象,所考虑的变形建⽴在⼩变形假设的基础上。具体讲,下⾯四条必须同时满⾜的问题为线弹性问
题:
1. 材料的应⼒与应变呈线性关系,满⾜⼴义胡克定理。
2. 应变与位移的⼀阶导数呈线性关系。


3. 微元体的平衡⽅程是线性的。
4. 结构的边界条件是线性的。
线弹性有限元问题归结为求解线性⽅程组问题,所需时间较少。
线弹性有限元⼀般包括弹性静⼒学分析与线性弹性动⼒学分析两个主要内容。学习这些内容需具备材料⼒学、结构⼒学、弹性⼒学、振动⼒
学、数值⽅法、矩阵代数、算法语⾔等⽅⾯的知识。
2)⾮线性有限元法
有限元法所求解的⾮线性问题可以分为如下三类
1. 材料⾮线性问题。在线弹性问题的四个条件中,不满⾜第1条的称为材料⾮线性问题。
材料的⾮线性问题中,材料的应⼒和应变呈⾮线性关系。在⼯程实际中较
为重要的材料⾮线性问题有:⾮线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、黏塑性及蠕变等。
2. ⼏何⾮线性问题。在线弹性问题的四个条件中,不满⾜2、3条的称
为⼏何⾮线性问题。
⼏何⾮线性由结构变形的⼤位移造成。⼀般分两类:⼀类叫⼩变形⼏何⾮线性问题,在这类问题中应变很⼩,但不能忽略⾼阶应变,所
以它可以表述为结构在加载过程中不能忽略⼩应变的有限转动的弹性⼒学问题,如薄板的⼤挠度问题就属于⼩变形⼏何⾮线性问题;另⼀类
叫有限变形(或⼤应变)⼏何⾮线性问题,在这类问题中,结构将产⽣很⼤的变形和位移,变形过程已经不可能直接⽤未受⼒时的位置和形
态加以描述,平衡状态的⼏何位置也是未知的,⽽且必须给出应⼒、应变的新定义。由此可见,有限变形(或⼤应变)⼏何⾮线性问题的求
解有别于⼩变形⼏何⾮线性问题,如橡胶部件形成过程与⾦属塑性加⼯过程均为有限变形⼏何⾮线性问题。
3. 边界⾮线性问题。在线弹性问题的四个条件中,不满⾜第4条的称为
边界⾮线性问题。
边界⾮线性包括两个结构物的接触边界随加载和变形⽽改变引起的接触⾮ 线性,也包括⾮线性弹性地基的⾮线性边界条件和可
动边界问题等。
在加⼯、密封、撞击等问题中,接触和摩擦的作⽤不可忽视,接触边界属 于⾼度⾮线性边界。齿轮啮合、冲压成型、轧制成像、橡
胶减震器、紧配合装配等都是⼀些接触问题。当⼀个结构与另⼀个结构或外部边界相接触是通常要考虑⾮线性边界条件
实际的⾮线性可能出现上述两种或三种⾮线性问题。
上述三类⾮线性问题与线弹性问题的求解有很⼤不同,主要表现在如下三个⽅
⾯:
1. ⾮线性问题的⽅程是⾮线性的,⼀般需求迭代求解。
2. ⾮线性问题的解不⼀定是唯⼀的,有时甚⾄没有解。
3. ⾮线性问题解的收敛性事先不⼀定能得到保证,可能出现振荡或发散现象。
以上三⽅⾯的因素使⾮线性问题的求解过程⽐线弹性问题更加复杂、费⽤更⾼和更具有不可预知性。


有限元法基本思想和分类
1 有限元法基本思想
有限元法是在连续体上直接进⾏近似计算的⼀种数值⽅法,其基本思想通过下⾯的例⼦来说明。图1简答说明了早期数学上求解圆⾯积的近
似⽅法。⾸先将连续的圆分割成⼀些三⾓形,求出每个三⾓形的⾯积,再将每个⼩三⾓形⾯积相加,即可得到圆⾯积的近似值。前⾯
是“分”的过程,后⾯是“合”的过程。之所以要分,是因为三⾓形⾯积容易求得。这样简单的⼀分⼀合,就很容易求出圆⾯积的近似值。
体现了有限元法的基本思想,即“拆整为零,集零为整”。
“拆整为零”即“分”的过程,具体包括
1)离散化
将连续的求解区域离散为有限个部分的集合,并认为各部分只通过有线个点连接起来。例如图2,可假想连续体(a)由许多⼩部件(b)组
成,这些规则或不规则的⼩部分成为单元(element)。单元之间只通过有限个点连接起来,如(c)所⽰,单元①与单元②只在1、2两点
相连,这些连接点称为节点(node)。这⼀过程称有限元离散化过程。
2)假定单元场函数
在每个单元内假定近似场函数(位移函数或应⼒函数),并将单元内的场函数由该单元各个节点的数值通过函数插值表⽰,这样,未知的场
函数(或包括其导数)在单元内各个节点的数值就成为新的未知量(其个数称为⾃由度),从⽽使⼀个连续的⽆限⾃由度问题变成离散的有
限⾃由度问题。
3)单元分析
对每个单元分析,求出单元的特性。
“集零为整”即“合”的过程,将单元的特性装配在⼀起得到离散体整体的特性,并利⽤数值计算⽅法得到整个求解域上场函数的近似值。
2 有限元法分类
有限元法按基本未知量可分为三⼤类,即有限元位移法、有限元⼒法、有限元混合法。在有限元位移法中,选节点位移作为基本未知量;
在有限元⼒法中,选节点⼒作为基本未知量;在有限元混合法中,⼀部分基本未知量为节点位移,另⼀部分基本未知量为节点⼒。有限元位
移法计算过程的系统性、规律性强,特别适宜编程求解。⼀般除板壳问题的有限元法应⽤⼀定量的混合法外,其余全部采⽤有限元位移法。
有限元法按求解问题的类型可分为两⼤类:线弹性有限元法和⾮线性有限元法。其中线弹性有限元法是⾮线性有限元法的基础。
1)线弹性有限元法
线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象,所考虑的变形建⽴在⼩变形假设的基础上。具体讲,下⾯四条必须同时满⾜的问题为线弹性问
题:
1. 材料的应⼒与应变呈线性关系,满⾜⼴义胡克定理。
2. 应变与位移的⼀阶导数呈线性关系。


3. 微元体的平衡⽅程是线性的。
4. 结构的边界条件是线性的。
线弹性有限元问题归结为求解线性⽅程组问题,所需时间较少。
线弹性有限元⼀般包括弹性静⼒学分析与线性弹性动⼒学分析两个主要内容。学习这些内容需具备材料⼒学、结构⼒学、弹性⼒学、振动⼒
学、数值⽅法、矩阵代数、算法语⾔等⽅⾯的知识。
2)⾮线性有限元法
有限元法所求解的⾮线性问题可以分为如下三类
1. 材料⾮线性问题。在线弹性问题的四个条件中,不满⾜第1条的称为材料⾮线性问题。
材料的⾮线性问题中,材料的应⼒和应变呈⾮线性关系。在⼯程实际中较
为重要的材料⾮线性问题有:⾮线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、黏塑性及蠕变等。
2. ⼏何⾮线性问题。在线弹性问题的四个条件中,不满⾜2、3条的称
为⼏何⾮线性问题。
⼏何⾮线性由结构变形的⼤位移造成。⼀般分两类:⼀类叫⼩变形⼏何⾮线性问题,在这类问题中应变很⼩,但不能忽略⾼阶应变,所
以它可以表述为结构在加载过程中不能忽略⼩应变的有限转动的弹性⼒学问题,如薄板的⼤挠度问题就属于⼩变形⼏何⾮线性问题;另⼀类
叫有限变形(或⼤应变)⼏何⾮线性问题,在这类问题中,结构将产⽣很⼤的变形和位移,变形过程已经不可能直接⽤未受⼒时的位置和形
态加以描述,平衡状态的⼏何位置也是未知的,⽽且必须给出应⼒、应变的新定义。由此可见,有限变形(或⼤应变)⼏何⾮线性问题的求
解有别于⼩变形⼏何⾮线性问题,如橡胶部件形成过程与⾦属塑性加⼯过程均为有限变形⼏何⾮线性问题。
3. 边界⾮线性问题。在线弹性问题的四个条件中,不满⾜第4条的称为
边界⾮线性问题。
边界⾮线性包括两个结构物的接触边界随加载和变形⽽改变引起的接触⾮ 线性,也包括⾮线性弹性地基的⾮线性边界条件和可
动边界问题等。
在加⼯、密封、撞击等问题中,接触和摩擦的作⽤不可忽视,接触边界属 于⾼度⾮线性边界。齿轮啮合、冲压成型、轧制成像、橡
胶减震器、紧配合装配等都是⼀些接触问题。当⼀个结构与另⼀个结构或外部边界相接触是通常要考虑⾮线性边界条件
实际的⾮线性可能出现上述两种或三种⾮线性问题。
上述三类⾮线性问题与线弹性问题的求解有很⼤不同,主要表现在如下三个⽅
⾯:
1. ⾮线性问题的⽅程是⾮线性的,⼀般需求迭代求解。
2. ⾮线性问题的解不⼀定是唯⼀的,有时甚⾄没有解。
3. ⾮线性问题解的收敛性事先不⼀定能得到保证,可能出现振荡或发散现象。
以上三⽅⾯的因素使⾮线性问题的求解过程⽐线弹性问题更加复杂、费⽤更⾼和更具有不可预知性。

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有限元法基本思想和分类

发布时间:2022-03-30 03:16:50
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有限元法按求解问题的类型可分为两⼤类:线弹性有限元法和⾮线性有限元法
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⼀般需求迭代求解
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再将每个⼩三⾓形⾯积相加