有限元法概念意义与应用

文章描述:-2022年3月30日发(作者:钮茂生)、意义与 2013信息 姓名: 张正 92 曾伟梁 :有限元法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限 :Finite element method is based on the variational principle and the weighted :Finite element method;

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有限元法概念意义与应用2022年3月30日发(作者:钮茂生)

、意义与



2013信息 姓名: 张正
2013040692
曾伟梁
























:有限元法的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限






:Finite element method is based on the variational principle and the weighted







:Finite element method; variational principle; weighted residual method;




随着现代科学技术的发展,人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模
更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一
需要对结

看看是否会发生破
分析计算核反应堆的温度场,确定传热和冷却系统是否合理;分析涡
以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问
近年来在计算机技术和数值分析方法支
FEA,Finite Element Analysis)方法则为解决这


有限元法是一种高效能、常用的计算方法.有限元法在早期是以变分原理为
所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类
(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些
(Galerkin)或最小二乘法等同
因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理


后来随着计算机的发展慢慢用于流体
在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互
在每个单元内选择基函数,用单元基函数的线形组合来逼近单元中

整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的,则整个
在河道数值模拟中,常见
最小
根据所采用的权函数和插值函数的不同,有限元方法也分为多种计算

有三角形网格、四边形网格和多边形网格,从插值函
又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成
对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近
最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对
在配置法中,先在计算域内选取个配置点。令近似
个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插
但也有采用三角函数或指数函数组成的乘
但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求
称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一
还要求它的导数值在插值点取已知值,称为哈密特
多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的

三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三
Lagrange插值直角坐标系中的
面积坐标系中的线性插值函数、二阶或




300年前,牛顿和莱布尼茨发明了积分法,证明了该运算具有整体对
虽然,积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的,前者进


积分运算为实现有限元技术准备好了一个理

著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组
这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式,后者被用来求
18世纪,另一位数学家拉格郎日提出泛函

19世纪末及20世纪初,数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展
1915年,数学家伽辽金提出了选择展开函数中
1943年,数学家库朗德第一
这实际上就




世纪50年代,飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、
波音公司的一个技术小组,首先将连续体的机翼离散为三角形板块
20世纪
年代,大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作,这为实现有限元
1960年前后,美国的教授及我国的冯康教
,这样的名词。此后,这样的叫法被


年10月美国波音公司开始在计算机上对新型客机B-777进行“无纸
,仅用了三年半时间,于1994年4月第一架B-777就试飞成功,这是制
其中在结构设计和评判中就大量采用有限元分析这一


在有限元分析的发展初期,由于其基本思想和原理的“简单”和“朴素”,
Journal of
许多年来都拒绝刊登有关于有限元分析的文章。然而现在,
不但国际上存在如ASYS等数种通用有限





20世纪60年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉
(Clough)教授形象地将其描绘为:“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”,
Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)
Rayleigh Ritz法,有限元法将函数定义
(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数),
这是有限元法优于其他近似方法的原因之


FEM)的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把
在每个单元内,选择一些合适的节点作为
将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所
,借助于变分原理或加权余量法,将微分方
采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。有
后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值
在有限元方法中,把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元,
用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解,整个
则整个计算域内的解
在河道数值模拟中,常见的有限元计算
最小二乘法等。根
有限元方法也分为多种计算格式。从权函

网格,从插值函数的精度来

同样构成不同的有
对于权函数,伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的
最小二乘法是令权函数等于余量本身,而内积的极小值则为对代求系数
内选取个配置点。令近似解在选
个配置点上严格满足微分方程,即在配置点上令方程余量为0。插值函数

但最常用的多项

式插值函数。有限元插值函数分为两大类,一类只要求插值
称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值;另一种不

多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标,有对
常采用的无因次坐标是一种局部坐标系,它的定义取决于单元的

三角形单元应用的最早,近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三
Lagrange插值直角坐标系中的
面积坐标系中的线性插值函数、二阶或



有限元单元法的基本思路
不论是应力函数解法数解法、扭

挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利-李兹等
其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试




这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数


(i,j,m),,以结点位移以结点位移(u,u ,u )为







避开了微分方程直
把定解条件下的微分方程组的求解巧


有限元单元法求解问题的的基本步骤
(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微

区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域




确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择
件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是



(4) 单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达

(即单元中各节点的参数值)的代数方程组,称为单元有限元方

(5) 总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元

(6) 边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄
)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条
)。对于自然边界条件, 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质
需按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。
(7) 解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有


求解计算结果的整理和有限元法后处理
一般有两大类解法,一是直接解法,二是迭
直接法有高斯消元法和三角分解法,如果方程规模比较大时,可用分块解
-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
得到整体节点
然后根据单元节点位移由几何矩阵和应力矩阵得到单元节点的应变和
对于非节点处的位移通过形函数插值得到,再由几何矩阵和应力矩阵求得

精度一般要比位移差一些,尤其对于一次单元,应变
应变和应力的误差会比较大,尤其单元数比较少时,

1) 绕节点平均法,即依次把围绕节点所有单元的应力加起来平均,以

2) 二单元平均法,即吧相邻的两单元的应力加以平均并以此作为公共

一是要得到结构中关键位置力

学量得数





1所示。
:要求选择不同形状的截面分别进行计算。


梁承受均布载荷:1.0e5 Pa

1 梁的计算分析模型
m):

圆截面: 工字形截面:
,H=0.2 R=0.1 w1=0.2,w2=0.2,

,t2=0.05,t3=0.05

200GPa,泊松比为:0.3。试用ASYS求该梁的挠度及应力
,画出梁的弯矩图和剪力图。
1)单元类型定义后,设置梁类型与实常数。

2)设置材料属性。


3)建立几何模型。

4)创建线并划分网格与单元。


施加载荷与约束。

6)求解。







并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发
电子计算机的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实,并


20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具
(ASA)在
年委托美国计算科学公司和贝尔航空系统公司开发的ASTRA有限元分析
,是目前世界上规模最大、功能最强的有
,世界各地的研究机构和大学也发展了一批规模较
,主要有德国的ASKA、英
PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADIA、ASYS、BERSAFE、BOSOR、
、ELAS、MARC和STARDYE等公司的产品。当今国际上FEA方法和软件发
:

从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题
有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实
,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从
,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼
所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、
,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如当
,而塔的变形又反过来影响到气

,即所谓"流固耦合"的问题。

由求解线性工程问题进展到分析非线性问题
,线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行
,就要求考虑结构的大位移和大应变等几
;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料
;诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,仅靠线性计算理
,只有采用非线性有限元算法才能解决。众所周知,
,它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧,很难
为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资
MARC、ABQUS和ADIA 等专长于求解非线性问题的有限元分析软件,并
这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富


增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的
随着数值分析方法的逐步完善,尤其是计算机运算速度的飞速发展,整个计
,而数据准备和运算结果的表现问题却日益

在现在的工程工作站上,求解一个包含10万个方程

的有限元模型只需要用
,然后再处理大量的计算结果则
,工程师在分析计算一个工程问题时有80%
因此目前几乎所有的商业化有限元程
"可视化"的今天,
GUI(Graphics User Interface),使用户能
,生成有限元分析所需数据,并按
,便于极值搜索和所需数据


与CAD软件的无缝集成
CAD软件的集成使用,即在用
软件完成部件和零件的造型设计后,自动生成有限元网格并进行计算,如果
,直到满意为止,从而极大地
,工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷
所以当今所有的商业化有限元
统商都开发了和著名的CAD软件(例如Pro/EGIEER、Unigraphics、
、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。

在Wintel平台上的发展
(主要是Mainframe)
,后来又发展到以工程工作站(EWS,Engineering WorkStation )
,它们的共同特点都是采用UIX操作系统。PC机的出现使计算机的应用
,工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现
PC机采用16位CPU和DOS操作系统,内存中的公共数据块受到
,因此当时计算模型的规模不能超过1万阶方程。Microsoft Windows操作
32位的Intel Pentium 处理器的推出为将PC机用于有限元分析提供了
因此当前国际上著名的有限元程序研究和发展机构
Wintel平台上。下表列出了用ADIA V7.3 版在PC
Windows T环境和SGI工作站上同时计算4个工程实例所需要的求解时间。
PC机的求解能力已和中低挡的EWS不相上下。为了将在
EWS上开发的有限元程序移植到PC机上,常常需要采用
公司的一个仿真软件Exceed。这样做的结果比较麻烦,而且不能充
PC机的软硬件资源。所以最近有些公司,例如IDEAS、ADIA和R&D开始
Windows平台上开发有限元程序,称作"ative Windows"版本,同时还有在PC
Linux操作系统环境中开发的有限元程序包。


在大力推广CAD技术的今天,从自行车到航天飞机,所有的设计制造都离不
有限元法在工程设计和分析中将得到越来越广泛的重视。目
CAE(Computer aided Engineering CAE)技术在
CAE技术快速有效地分析产品的各种特性、
进行设计方案的修改和调整,使产品达


CAE技术的研究和应用,是高质量、高水平、低成本产品设计与开发的保证。



张晋红,吴凤林 有限元法及其应用现状【J】。机械管理开发,2009,4
樊杰,赵铁,徐清洁 有限元法的一般思想【J】。科技情报开发与经济,2008,3
杨桂通 弹性力学【M】北京:高等教育出版社,1998
邵敏 有限元法基本原理和数值方法[M]。北京:清华大学出版社,1997
傅永华 有限元法分析基础【M】。武汉:武汉大学出版社,2003



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有限元法概念意义与应用

发布时间:2022-03-30 03:25:38
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百度谷歌一起搜V铁粉28 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
选择 件的插值函数作为单元基函数
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当涂房产网V铁粉21 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
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目CAE(Computer aided Engineering CAE)技术在CAE技术快速有效地分析产品的各种特性
沈阳亿丰时代广场V铁粉8 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
有限元法将函数定义(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数)
speakerboxV铁粉17 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
工程师可以在集成的CAD和FEA软件环境中快捷所以当今所有的商业化有限元统商都开发了和著名的CAD软件(例如Pro/EGIEER
首发下载站V铁粉5 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
武汉:武汉大学出版社
傻博士V铁粉2 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
例如当
我应该干什么V铁粉6 minutes ago Google Chrome 93.0.4577.82 Windows 10 x64
从插值函又分为线性插值函数和高次插值函数等
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数学家伽辽金提出了选择展开函数中1943年
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PC机的求解能力已和中低挡的EWS不相上下
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有限元插值函数分为两大类
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求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用
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是含所有 求解计算结果的整理和有限元法后处理 一般有两大类解法