有限元法求解问题的基本步骤

文章描述:-2022年3月30日发(作者:欧阳勋)如有帮助欢迎下载支持 有限元法求解问题的基本步骤 1.结构离散化 对整个结构进行离散化,将其分割成若干个单元,单元间彼此通过节点相连; 2.求出各单元的刚度矩阵[K](e) [K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵,其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e); 3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方

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有限元法求解问题的基本步骤2022年3月30日发(作者:欧阳勋)


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有限元法求解问题的基本步骤
1.结构离散化

对整个结构进行离散化,将其分割成若干个单元,单元间彼此通过节点相连;

2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)

[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵,其关系式为:{F}(e)= [K](e)
{Φ}(e);

3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程
总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量 的转移矩阵,其关系式为{F}=
[K] {Φ},此即为总体平衡方程。

4.引入支撑条件,求出各节点的位移

节点的支撑条件有两种:一种是节点n沿某个方向的位移为零,另一种是节点n沿某个方向
的位移为一给定值。

5.求出各单元内的应力和应变

对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为:
(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值
问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。
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(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连
接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,
除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同
时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件
的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元 具有
规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近
似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参
数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。

(5)总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行
累加,形成总体有限元方程。

(6)边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、
自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件,一般在
积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法 则对总体
有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方
程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值。
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1.结构离散化

对整个结构进行离散化,将其分割成若干个单元,单元间彼此通过节点相连;

2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)

[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵,其关系式为:{F}(e)= [K](e)
{Φ}(e);

3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程
总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量 的转移矩阵,其关系式为{F}=
[K] {Φ},此即为总体平衡方程。

4.引入支撑条件,求出各节点的位移

节点的支撑条件有两种:一种是节点n沿某个方向的位移为零,另一种是节点n沿某个方向
的位移为一给定值。

5.求出各单元内的应力和应变

对于有限元方法,其基本思路和解题步骤可归纳为:
(1)建立积分方程,根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理,建立与微分方程初边值
问题等价的积分表达式,这是有限元法的出发点。
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(2)区域单元剖分,根据求解区域的形状及实际问题的物理特点,将区域剖分为若干相互连
接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作,这部分工作量比较大,
除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外,还要表示节点的位置坐标,同
时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

(3)确定单元基函数,根据单元中节点数目及对近似解精度的要求,选择满足一定插值条件
的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的,由于各单元 具有
规则的几何形状,在选取基函数时可遵循一定的法则。

(4)单元分析:将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近;再将近
似函数代入积分方程,并对单元区域进行积分,可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参
数值)的代数方程组,称为单元有限元方程。

(5)总体合成:在得出单元有限元方程之后,将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行
累加,形成总体有限元方程。

(6)边界条件的处理:一般边界条件有三种形式,分为本质边界条件(狄里克雷边界条件 )、
自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件,一般在
积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件,需按一定法 则对总体
有限元方程进行修正满足。
(7)解有限元方程:根据边界条件修正的总体有限元方程组,是含所有待定未知量的封闭方
程组,采用适当的数值计算方法求解,可求得各节点的函数值。
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发布时间:2022-03-30 03:05:18
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