(完整)分片实验与有限元法

文章描述:-2022年3月30日发(作者:杭鸿志)(完整)分片实验与有限元法 分片实验与有限元法 田中旭 注意:本论文已在《应用力学学报》杂志(2000,17(2):24-30)发表 使用者请注明论文出处 (大连理工大学工程力学系,) 摘要:本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用,它是近代有限元发展的一个主要特。得出分片试验对位移函数和应变函数的要求,这些要求便是一个好的有限元

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(完整)分片实验与有限元法2022年3月30日发(作者:杭鸿志)


(完整)分片实验与有限元法
分片实验与有限元法

田中旭

注意:本论文已在《应用力学学报》杂志(2000,17(2):24-30)发表
使用者请注明论文出处

(大连理工大学工程力学系,116024)

摘要:本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用,它是近代有限元发展的一个主要特。
得出分片试验对位移函数和应变函数的要求,这些要求便是一个好的有限元法所应保证的;分析
了几何方程弱形式与分片试验的关系,借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求,以及
在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响;分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参
数法如何保证分片试验的满足;最后作为位移条件的应用例子,改进了BCIZ元。
关键词:分片试验,弱形式,网线函数,有限元法

1 引言

连续问题极大地推动了有限元的发展,目前,成熟的构造单元的
方法有传统的位移法有限元
[1]
、应力杂交元
[4]
、杂交混合元
[5]
、拟协调元
[2][3]
、广义协调元
[6]

双参数法
[7]
、精化直接刚度法
[8]
等多种。有些方法在数学上已有证明,但这些方法的更为完善
的证明仍是一个课题,而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解.人们仍比较普遍以事后


(完整)分片实验与有限元法
的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论,但以往的大量实践说明:
通过分片试验的单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同
点,近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。

众所周知,分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时,
不可避免的涉及了单元间的协调关系,这种协调关系与两个单元有关,文
[4][5]
采用了单元边界上
的公共的位移插值函数,文
[9]
把这种位移插值函数成为“网线函数”。正式这种所谓的“网线
函数”的采用,单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决
连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文
通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。

目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理,从而得到单元的应变(或应
力)的,由结点位移为参数表达的表达式,再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元
法在得到应变(或应力)的做法上不同,好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实
验所应满足的条件。

2 分片检验的要求

因有限元法最终列出的是势能的方程,因此分片试验可以看作:在常应变情况下,位移
的不协调部分对势能无贡献,在薄板弯曲问题中,可如下表达:


(完整)分片实验与有限元法
(1)

其中,A:单元域, 为位移的不协调部分,有:

(
2)

为位移, 为位移的协调部分.

方程(1)可以理解为:在常内力情况下,不协调位移对应变能无贡献。把(2)式代入方
程(1)

(3)

对(3)式中的 项应用格林公式,并应用坐标变换公式:

(
4)

其中 、 分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数,即为文中的网线函数,
的项再分步积分得:


为单元边界外法线的方向余弦。对含

r
时 ) (5)


(完整)分片实验与有限元法
r
表示单元的边数, 表示结点的位移参数。对(3)中的含 项也进行分步积分并整理有:

(6)

同样,对 项再分步积分得:

(7)

a
i

b
i

c
i
为由各边的
n
x

n
y
组成的参数, 表示位移函数在结点处的值。

(4)、(5)、(6)、(7)便是通过分片检验所需满足的方程。

(4)、(5)是从应变的角度反映了分片试验对单元的要求,这里称之为应变约束条件;(6)、
(7)是从位移的角度反映了分片试验对单元的要求,这里称之为位移约束条件.成熟的有限元法
都自觉或不自觉地应用了这些条件。

传统的位移法构造的协调元自动满足了上述各式,下面对其它有限元分析方法进行分类
分析.

3 使用应变约束的有限元法

方程(4)、(5)是对应变的要求,没有涉及刚体位移,同时应力和应变之间只有一个线性关系,
所以,假设应变或应力的有限元法都应满足这两个方程。

方程(4)、(5)表达的是应变与位移之间的关系,它们必然与弹性力学的几何方程:


(完整)分片实验与有限元法

(8)

有着密切的关系.把几何方程(3.1)写成弱形式:

(9)

、 、 为权函数,应用两次格林公式变换上述方程:

(10)

在上式中,单元边界上的 、 、 分别以它们对应的网线函数 、 、 代替:

(11)

如果方程(11)中 、 、 是应力的变分,即满足了齐次的平衡方程:


(12)

则方程(12)变为:


(完整)分片实验与有限元法
(13)

此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。

方程(11)与(13)便是连续性方程弱形式中的两个典型形式。在方程(11)与(13)中当

的要求.

拟协调元与杂交混合元便是采用方程(11)对应变或应力进行离散,而应力杂交元采用的
是(13)式.不同的是应力杂交元与杂交混合元是由假设应力出发,而拟协调元是由假设应变入
手。而应力与应变之间的关系只是一个线性变换,如果应力与应变设在同一空间,仅是设应力与
设应变的不同是不会影响最终结果的。

从方程(11)与(13)的来源(9)式可以看出,几类单元中的应变(或应力)只在较弱的意义上满
足相容方程。因平衡方程与连续性方程是一对对偶的微分方程组,有限元法中已经使用了平衡
方程的弱形式-最小势能原理,这里使用了连续性方程的弱形式也许更为合理。可以验证,单元
应变满足相容条件的强形式与弱形式对单元的精度一般影响不大.

由以上讨论可见,在有限元分析中选常数作检验函数是保证单元通过分片检验的关键。
而这一点在以上提到的三种有限元法中都能自然得到满足。构造三角形单元时,常取面积坐标
作为检验函数基,因三个面积坐标之和为1,固在离散每个应变时,检验函数应取遍三个面积坐
标,这样便保证了检验函数为常数时式(5)或(6)成立。

精化直接刚度法虽然从设位移出发,但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用.

在方程(4)的两边同时除以单元的面积 ,变为:

、 分别取常数,另两个为零时,便可得到方程(4)或(5),即符合分片试验


(完整)分片实验与有限元法
(14)

上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式:


(15)

其中 与文
[7]
中相一致, 为结点参数矢量。一般的有限元法得到的应变表达式:


(16)

其单元的平均应变:


(17)

不一定满足式(14),因此把平均应变进行修正,即换成式(18)中表达的所需形式,修正后的应
变阵为:


(18)

这样便保证了单元能够通过分片检验.此外,得到
尽相同的形式。

时还可使用(6)式,从而得到与式(14)不


(完整)分片实验与有限元法
因此,可以说精化直接刚度法是通过修正单元的平均应变,使其通过分片试验的有限元
分析方法。精化直接刚度法实施起来是巧妙而方便的。

4 使用位移约束的有限元法

使用位移约束方程的方式有两种:第一种是位移的广义参数的个数不增加,改变以往的
采用结点参数确定各广义参数的方法,广义协调元和双参数法便是采用这种方法;第二种方法
是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。

4。1 广义协调元和双参数法

方程(6)、(7)反映了分片检验对位移函数的要求,与其相应的有限元法是广义协调元
和双参数法。从(6)、(7)可以看出,若使单元通过分片检验,则应包含条件:



i
=1,…,r) (19)

广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移
插值函数在结点处的表达不一定精确,有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接
由结点位移表示的,因此在做分片检验时会有一定的误差,即不很准确地通过分片检验。这一
点可由文
[8]
中的算例看出。

对于某些特殊形状的单元来说,方程(19)只是方程(6)和(7)的充分条件,非必要条件,这
一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知,矩形薄板单元不满足 连续,可以验证它同样
不满足(19)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高,其原因是它满足方程(6)和(7)。

4.2 增加位移中的广义参数


(完整)分片实验与有限元法
可以增加位移函数中的广义参数,通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数,这样
得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函
数的空间,但它的应用还非常少,其主要原因是计算中涉及求逆运算.目前计算机技术及软件的
高速发展,尤其是代数运算软件的出现,这种做法也许会有一些生命力.下面举一个通过这种方
法改善单元性能的例子.

在构造三角形单元时,人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折,面积坐标的
应用解决了对称性的问题,但Zienkiewicz元(BCIZ元)的性能不佳也是人所共知的。今位移函数
的基取完全的三次式,含十个基函数,采用面积坐标可写成如下形式:


(20)

其中 为Zienkiewicz元的单元位移函数, (
i
=1,2,3)为三个面积坐标,
C
为待定参数。
以下通过
C
的确定来改善单元的性质.因只有一个待定参数,方程(6)不可能完全得到满足,考
虑到对称性将(6)中的前两式相加得到方程:


(21)






(完整)分片实验与有限元法

应用方程(21)可以确定出参数
C
,其中 由采用结点参数建立的单元边界法线方向转角的线性
插值函数来表达。定出
C
后便可用常规方法得到单元刚度阵。

对边长为0。5的方板做图示两种网格划分,坐标原点在1点,其中图二中5点坐标为(0。2,
0.15),边界结点的位移参数按任意的二次挠度场
的挠度及转角,表1列出了Zienkiewicz元和改进的Zienkiewicz元结果。

表1 分片试验

给定,计算5点




2×2交叉网格




不规则网格



改进前

0。030052

0。065000

0.11000

0。017090

0.053492

0.091089

改进后

0.029375

0.065000

0.11000

0。016666

0。051481

0。085748

精确值

0。029375

0.065000

0.11000

0.016650

0。052000

0。086000

可以看出改进Zienkiewicz元的性能有很大的改善,以下做一算例.

算例:方板中心受集中力,根据对称性,取板的四分之一,采用交叉网格的计算结果如表2。

表2 BCIZ元改进前后板中心挠度计算
单元网格

改进后

简支

四边

固支

2×2

4×4

8×8

16×16


32×32

精确值

四边

改进前

0。01231

0.01205

0。01199

0.01198

0。01198

0。01160

0.012566

0.01190

0.01170

0。01163

0。01161

改进前

0。005837 0

。005825 0

。005799 0

。005792 0

。005791 0

。005612

改进后

0.006397

0。005873 0

。005699 0.005639

0。005620

由算例可以看出改进Zienkiewicz元的收敛性能有了很大的改善,而且单元采用的位移
函数不仅具有几何对称性,各结点的挠度和转角值也表达精确。在三次位移函数的单元中,这种
单元的位移函数的插值空间得到了进一步改进。


(完整)分片实验与有限元法
5 总结

通过前面的讨论可以看出,各有限元法与分片试验是密不可分的,它们自觉或不自觉得满足了分
片试验的要求。这些有限元法合理的共同原因也许在于它们能通过分片试验.

满足了应变约束条件的有限元法,一般是以损失连续性方程的严格性为代价的,这一点对计算
结果一般影响不大,而且往往会改善计算精度,这些有限元法对分片试验的满足十分自然,但有
些时候会涉及秩的问题;

使用了位移约束条件的有限元法,以损失位移函数在单元结点的准确程度为代价,换取了单元总
体性能的改进,或者改善了位移试函数的插值空间,这类有限元法对在保持位移函数的几何对
称性上有些困难。以上两类有限元法都得出了很多属于自己特的单元。

本文得出的是常应变分片试验的要求,同样可以得出应变或位移在什么情况下,能够通过
线性应变的分片试验.如果单元的位移参数较多,位移插值函数已含完全三次多项式,单元片在
线性应变情况下也应计算准确,这样才更值得我们增加参数。


(完整)分片实验与有限元法
分片实验与有限元法

田中旭

注意:本论文已在《应用力学学报》杂志(2000,17(2):24-30)发表
使用者请注明论文出处

(大连理工大学工程力学系,116024)

摘要:本文提出分片试验在有限元法中有着重要的作用,它是近代有限元发展的一个主要特。
得出分片试验对位移函数和应变函数的要求,这些要求便是一个好的有限元法所应保证的;分析
了几何方程弱形式与分片试验的关系,借此分析了杂交元、拟协调元如何满足这些要求,以及
在满足这些要求的同时产生的对其他条件的影响;分析了精化直接刚度法、广义协调元和双参
数法如何保证分片试验的满足;最后作为位移条件的应用例子,改进了BCIZ元。
关键词:分片试验,弱形式,网线函数,有限元法

1 引言

连续问题极大地推动了有限元的发展,目前,成熟的构造单元的
方法有传统的位移法有限元
[1]
、应力杂交元
[4]
、杂交混合元
[5]
、拟协调元
[2][3]
、广义协调元
[6]

双参数法
[7]
、精化直接刚度法
[8]
等多种。有些方法在数学上已有证明,但这些方法的更为完善
的证明仍是一个课题,而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解.人们仍比较普遍以事后


(完整)分片实验与有限元法
的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论,但以往的大量实践说明:
通过分片试验的单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同
点,近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。

众所周知,分片试验是与单元间的位移协调性密切相关的。人们在进行有限元分析时,
不可避免的涉及了单元间的协调关系,这种协调关系与两个单元有关,文
[4][5]
采用了单元边界上
的公共的位移插值函数,文
[9]
把这种位移插值函数成为“网线函数”。正式这种所谓的“网线
函数”的采用,单元间的协调问题可以在单元内独立考虑。目前成功解决
连续问题的有限元法均有意或无意地使用了这种网线函数。本文
通过网线函数给出了分片试验对应变和位移的要求。

目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理,从而得到单元的应变(或应
力)的,由结点位移为参数表达的表达式,再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元
法在得到应变(或应力)的做法上不同,好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实
验所应满足的条件。

2 分片检验的要求

因有限元法最终列出的是势能的方程,因此分片试验可以看作:在常应变情况下,位移
的不协调部分对势能无贡献,在薄板弯曲问题中,可如下表达:


(完整)分片实验与有限元法
(1)

其中,A:单元域, 为位移的不协调部分,有:

(
2)

为位移, 为位移的协调部分.

方程(1)可以理解为:在常内力情况下,不协调位移对应变能无贡献。把(2)式代入方
程(1)

(3)

对(3)式中的 项应用格林公式,并应用坐标变换公式:

(
4)

其中 、 分别为位移协调部分在单元边界的法向和切向的导数,即为文中的网线函数,
的项再分步积分得:


为单元边界外法线的方向余弦。对含

r
时 ) (5)


(完整)分片实验与有限元法
r
表示单元的边数, 表示结点的位移参数。对(3)中的含 项也进行分步积分并整理有:

(6)

同样,对 项再分步积分得:

(7)

a
i

b
i

c
i
为由各边的
n
x

n
y
组成的参数, 表示位移函数在结点处的值。

(4)、(5)、(6)、(7)便是通过分片检验所需满足的方程。

(4)、(5)是从应变的角度反映了分片试验对单元的要求,这里称之为应变约束条件;(6)、
(7)是从位移的角度反映了分片试验对单元的要求,这里称之为位移约束条件.成熟的有限元法
都自觉或不自觉地应用了这些条件。

传统的位移法构造的协调元自动满足了上述各式,下面对其它有限元分析方法进行分类
分析.

3 使用应变约束的有限元法

方程(4)、(5)是对应变的要求,没有涉及刚体位移,同时应力和应变之间只有一个线性关系,
所以,假设应变或应力的有限元法都应满足这两个方程。

方程(4)、(5)表达的是应变与位移之间的关系,它们必然与弹性力学的几何方程:


(完整)分片实验与有限元法

(8)

有着密切的关系.把几何方程(3.1)写成弱形式:

(9)

、 、 为权函数,应用两次格林公式变换上述方程:

(10)

在上式中,单元边界上的 、 、 分别以它们对应的网线函数 、 、 代替:

(11)

如果方程(11)中 、 、 是应力的变分,即满足了齐次的平衡方程:


(12)

则方程(12)变为:


(完整)分片实验与有限元法
(13)

此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。

方程(11)与(13)便是连续性方程弱形式中的两个典型形式。在方程(11)与(13)中当

的要求.

拟协调元与杂交混合元便是采用方程(11)对应变或应力进行离散,而应力杂交元采用的
是(13)式.不同的是应力杂交元与杂交混合元是由假设应力出发,而拟协调元是由假设应变入
手。而应力与应变之间的关系只是一个线性变换,如果应力与应变设在同一空间,仅是设应力与
设应变的不同是不会影响最终结果的。

从方程(11)与(13)的来源(9)式可以看出,几类单元中的应变(或应力)只在较弱的意义上满
足相容方程。因平衡方程与连续性方程是一对对偶的微分方程组,有限元法中已经使用了平衡
方程的弱形式-最小势能原理,这里使用了连续性方程的弱形式也许更为合理。可以验证,单元
应变满足相容条件的强形式与弱形式对单元的精度一般影响不大.

由以上讨论可见,在有限元分析中选常数作检验函数是保证单元通过分片检验的关键。
而这一点在以上提到的三种有限元法中都能自然得到满足。构造三角形单元时,常取面积坐标
作为检验函数基,因三个面积坐标之和为1,固在离散每个应变时,检验函数应取遍三个面积坐
标,这样便保证了检验函数为常数时式(5)或(6)成立。

精化直接刚度法虽然从设位移出发,但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用.

在方程(4)的两边同时除以单元的面积 ,变为:

、 分别取常数,另两个为零时,便可得到方程(4)或(5),即符合分片试验


(完整)分片实验与有限元法
(14)

上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式:


(15)

其中 与文
[7]
中相一致, 为结点参数矢量。一般的有限元法得到的应变表达式:


(16)

其单元的平均应变:


(17)

不一定满足式(14),因此把平均应变进行修正,即换成式(18)中表达的所需形式,修正后的应
变阵为:


(18)

这样便保证了单元能够通过分片检验.此外,得到
尽相同的形式。

时还可使用(6)式,从而得到与式(14)不


(完整)分片实验与有限元法
因此,可以说精化直接刚度法是通过修正单元的平均应变,使其通过分片试验的有限元
分析方法。精化直接刚度法实施起来是巧妙而方便的。

4 使用位移约束的有限元法

使用位移约束方程的方式有两种:第一种是位移的广义参数的个数不增加,改变以往的
采用结点参数确定各广义参数的方法,广义协调元和双参数法便是采用这种方法;第二种方法
是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。

4。1 广义协调元和双参数法

方程(6)、(7)反映了分片检验对位移函数的要求,与其相应的有限元法是广义协调元
和双参数法。从(6)、(7)可以看出,若使单元通过分片检验,则应包含条件:



i
=1,…,r) (19)

广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移
插值函数在结点处的表达不一定精确,有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接
由结点位移表示的,因此在做分片检验时会有一定的误差,即不很准确地通过分片检验。这一
点可由文
[8]
中的算例看出。

对于某些特殊形状的单元来说,方程(19)只是方程(6)和(7)的充分条件,非必要条件,这
一点可以从十二参矩形单元中看出。众所周知,矩形薄板单元不满足 连续,可以验证它同样
不满足(19)式。但这种单元能通过分片试验而且计算精度较高,其原因是它满足方程(6)和(7)。

4.2 增加位移中的广义参数


(完整)分片实验与有限元法
可以增加位移函数中的广义参数,通过分片试验的条件消去这些多余的广义参数,这样
得到的位移插值函数会得到改善或完全满足分片试验的要求。这种方法的实质是改善了位移函
数的空间,但它的应用还非常少,其主要原因是计算中涉及求逆运算.目前计算机技术及软件的
高速发展,尤其是代数运算软件的出现,这种做法也许会有一些生命力.下面举一个通过这种方
法改善单元性能的例子.

在构造三角形单元时,人们呈为完全的三次式中十个基函数的取舍大费周折,面积坐标的
应用解决了对称性的问题,但Zienkiewicz元(BCIZ元)的性能不佳也是人所共知的。今位移函数
的基取完全的三次式,含十个基函数,采用面积坐标可写成如下形式:


(20)

其中 为Zienkiewicz元的单元位移函数, (
i
=1,2,3)为三个面积坐标,
C
为待定参数。
以下通过
C
的确定来改善单元的性质.因只有一个待定参数,方程(6)不可能完全得到满足,考
虑到对称性将(6)中的前两式相加得到方程:


(21)






(完整)分片实验与有限元法

应用方程(21)可以确定出参数
C
,其中 由采用结点参数建立的单元边界法线方向转角的线性
插值函数来表达。定出
C
后便可用常规方法得到单元刚度阵。

对边长为0。5的方板做图示两种网格划分,坐标原点在1点,其中图二中5点坐标为(0。2,
0.15),边界结点的位移参数按任意的二次挠度场
的挠度及转角,表1列出了Zienkiewicz元和改进的Zienkiewicz元结果。

表1 分片试验

给定,计算5点




2×2交叉网格




不规则网格



改进前

0。030052

0。065000

0.11000

0。017090

0.053492

0.091089

改进后

0.029375

0.065000

0.11000

0。016666

0。051481

0。085748

精确值

0。029375

0.065000

0.11000

0.016650

0。052000

0。086000

可以看出改进Zienkiewicz元的性能有很大的改善,以下做一算例.

算例:方板中心受集中力,根据对称性,取板的四分之一,采用交叉网格的计算结果如表2。

表2 BCIZ元改进前后板中心挠度计算
单元网格

改进后

简支

四边

固支

2×2

4×4

8×8

16×16


32×32

精确值

四边

改进前

0。01231

0.01205

0。01199

0.01198

0。01198

0。01160

0.012566

0.01190

0.01170

0。01163

0。01161

改进前

0。005837 0

。005825 0

。005799 0

。005792 0

。005791 0

。005612

改进后

0.006397

0。005873 0

。005699 0.005639

0。005620

由算例可以看出改进Zienkiewicz元的收敛性能有了很大的改善,而且单元采用的位移
函数不仅具有几何对称性,各结点的挠度和转角值也表达精确。在三次位移函数的单元中,这种
单元的位移函数的插值空间得到了进一步改进。


(完整)分片实验与有限元法
5 总结

通过前面的讨论可以看出,各有限元法与分片试验是密不可分的,它们自觉或不自觉得满足了分
片试验的要求。这些有限元法合理的共同原因也许在于它们能通过分片试验.

满足了应变约束条件的有限元法,一般是以损失连续性方程的严格性为代价的,这一点对计算
结果一般影响不大,而且往往会改善计算精度,这些有限元法对分片试验的满足十分自然,但有
些时候会涉及秩的问题;

使用了位移约束条件的有限元法,以损失位移函数在单元结点的准确程度为代价,换取了单元总
体性能的改进,或者改善了位移试函数的插值空间,这类有限元法对在保持位移函数的几何对
称性上有些困难。以上两类有限元法都得出了很多属于自己特的单元。

本文得出的是常应变分片试验的要求,同样可以得出应变或位移在什么情况下,能够通过
线性应变的分片试验.如果单元的位移参数较多,位移插值函数已含完全三次多项式,单元片在
线性应变情况下也应计算准确,这样才更值得我们增加参数。

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(完整)分片实验与有限元法

发布时间:2022-03-30 03:10:58
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