有限元方法的发展及应用

文章描述:-2022年3月30日发(作者:沈剑虹)有限元方法的发展及应用 摘 要:有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分 原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描 述的各类物理场中。自从 1969 年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于 以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这

-

有限元方法的发展及应用2022年3月30日发(作者:沈剑虹)


有限元方法的发展及应用
摘 要:有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分 原理为基础发
展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描 述的各类物理场中。自从
1969
年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法或最小二乘法等同样获
得了有限元方程,因而有限元法可应用于 以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再
要求这类物理场和泛函的极值 问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛
函的极值问题。
1
有限元法介绍
1.1
有限元法定义
有限元法(
FEA
,
Finite Element Analysis
)的基本概念是用较简单的问题代 替复杂
问题后再求解。它是起源于
20
世纪
50
年代末
60
年代初兴起的应用数学、 现代力学及
计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域 组成,对每
一单元假定一个合适的

较简单的)近似解,然后推导求解这个域总 的满足条件

如结
构的平衡条件),从而得到问题的解。这个解不是准确解,而 是近似解,因为实际问题被
较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得 到准确解,而有限元不仅计算精度高,
而且能适应各种复杂形状,因而成为行 之有效的工程分析手段。有限元法最初应用在工程
科学技术中
,
用于模拟并且解 决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
1.2
有限元法优缺点
有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法,与其它数值方 法相比,它
具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容 易编程、成熟的大型商
用软件较多等优点。

1
)概念浅显,容易掌握,可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理 解,既
可以通过非常直观的物理解释来理解,也可以建立基于严格的数学理论 分析。

2
)有很强的适用性,应用范围极其广泛。它不仅能成功地处理线性弹性 力学问题、费
均质材料、各向异性材料、非线性应立
-
应变关系、大变形问题、 动力学问题已及复杂非
1


线性边界条件等问题,而且随着其基本理论和方法的逐 步完善和改进,能成功地用来求解
如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类 线性、非线性问题。他几乎适用于求解所有的
连续介质和场问题,以至于目前 开始向纳米量级的分子动力学渗透。

3
)有限元法采用矩阵形式表达,便于编制计算机软件。这样,不仅可以 充分利用高
速计算机所提供的方便,使问题得以快速求解,而且可以使求解问 题的方法规范化、软件
商业化,为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。
但是,在求解一些特殊问题,特别是间断问题时,有限元方法存在着某些 固有的缺
陷。例如:

1
)有限元采用的是连续性的位移近似函数,对于裂纹类强间断问题,为 获得足够的
计算精度,需要对网格进行足够的细分,计算量极大。

2
)在采用拉格朗日法求解金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局 部剪切等涉
及特大变形问题时,有限元网格可能会产生严重扭曲,使计算精度 急剧下降甚至计算无法
继续,因此,需要不断地进行网格重构,计算量极大。 同时,为了模拟裂纹的动态扩展过
程,也需要不断地进行网格重构。

3
)在处理夹杂问题时,单元的边须位于夹杂与基体的界面处,即使对于 网格自动化
程度很高的二维问题这也很不容易,而三维问题则更复杂。
1.3
有限元法的派生
有限元法作为数值方法中的基础方法,有其一定的使用范围,也由于一定 的弊端决定
了其不完全通用性。在有限元方法基础上,发展出有其特殊使用范 围的更精准的派生数值
方法,下面介绍几种重要的数值方法。
1.3.1
有限差分法
有限差分法(
FDM
,
Finite Differenee Method
)已经发展的一些近似数值分 析方法
中,最初常用的是有限差分法,它可以处理一些相当困难的问题。但对 于几何形状复杂的
边界条件,其解的精度受到限制,甚至发生困难。作为
60
年 代最重要的科技成就之一的
有单元法。在理论和工程应用上都得到迅速发展, 几乎所有用经典力学解析方法难以解决
的工程力学问题郁可以用有限元方法求 解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组
合体,解析地模拟或逼近求 解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起,且单
元本身又可有不 同的几何形状,因此可以适应几何形状复杂的求解域。有限元的另一特点
是利 用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。单元内 的近似
2


函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达,这就使未 知场函数的结点值
成为新的未知量,把一个连续的无限自由度问题变成离散的 有限自由度问题,只要结点来
知量解出,便可以确定单元组合体上的场函数。 随着单元数目的增加,近似解收敛于精确
解。但是有限元方法常常需要很大的 存贮容量,甚至大得无法计算;由于相邻界面上只能
位移协调,对于奇异性问 题(应力出现间断)的处理比较麻烦。这是有限单元法的不足之
处。
1.3.2
边界元法
边界元法(
BEM
,
Boundary Element Method
)是在有限元法之后发展起来
的一种较精确有效的工程数值分析方法。与有限元法在连续体域内划分单元的 基本思想不
同,边界元法是在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函 数去逼近边界条件,通
过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解。降低了 问题的维数,可用较简单的单元准
确地模拟边界形状,利用微分算子的解析的 基本解作为边界积分方程的核函数,而具有解
析与数值相结合的特点,通常具 有较高的精度。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存
在相应微分算子的基 本解为前提,对于非均匀介质等问题难以应用,故其适用范围远不如
有限元法 广泛,而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵,对解题规 模
产生较大限制。上述两种数值方法的主要区别在于,边界元法是 “边界”方法, 而有限元
法是“区域”方法,但都是针对连续介质而言,只能获得某一荷载或 边界条件下的稳定
解。对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得 多,更无法进行大变形、分
离、回转及塌落过程的模拟。这就使得人们去探索 和寻求适合模拟节理岩体和颗粒散体运
动变形特性的有效数值方法。
1.3.3
离散元法
离散元法(
DEM
,
Distinct ElementMethod
)是由
Cundall PA (1971)
首先提
出并应用于岩土体稳定性分析的一种数值分析方法。它是一种动态的数值分析 方法
,
可以用
来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点
,
因而
,
也就成为 目前较为流行的一种岩
土体稳定性分析数值方法。该方法在进行计算时
边坡岩体划分为若干刚性块体
,
首先将
(
目前已可以考虑块体的弹性变形
) ,
以牛顿第二
运动定律为基础
,
结合不同本构关系
,
考虑块体受力后的运动及由此导致的受力状 态和块体
运动随时间的变化。它允许块体间发生平动、转动
,
甚至脱离母体下落
,
结合
CAD
技术可
以在计算机上形象地反应出边坡岩体中的应力场、位移及速 度等力学参量的全程变化。该
方法对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体 比较适合。
3


1.3.4
广义有限元法
广义有限元方法(
GFEM
,
GeneralizedFinite Method
)是常规有限元方法在 思想上
的延伸,它基于单位分解方法
,
通过在结点处引入广义自由度,对结点自 由度进行再次插

,
从而提高有限元方法的逼近精度,或满足对特定问题的特殊 逼近要求。基于广义有限元
方法对单元形状函数构造理论的深入研究,具有任 意内部特征(空洞、夹杂、裂纹等)及外
部特征(凹角、角点、棱边等)的复 杂问题
,
都将在简单、且与区域无关的有限元网格上加以
求解。
1.3.5
扩展有限元法
扩展有限元(
XFEM
,
Extended Finite Element Method
)是在标准有限元方 法的框
架下,提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹杂等间断问题的数值方法。 在有限元的近似
函数中,增加能反映待求问题间断特性的附加函数项,采用水 平集方法(
LSM
)描述间断
面的几何特性及其移动规律。扩展有限元方法与标 准有限元方法相比,具有计算精度高、
勿需网格重构等特点。
2
有限元法的发展
有限元法是
t

1943
年首先提出的。自从提出有限元概念以来

有 限元理
论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的 问题,都得到了新
的解决方案。传统的
FEM
假设:分析域是无限的;材料是同 质的,甚至在大部分的分析
中认为材料是各向同性的
;
对边界条件简化处理。但 实际问题往往是分析域有限、材料各向
异性或边界条件难以确定等。为解决这 类问题

美国学者提出用
GFEM
(
Gener-alized
Finite Element Method
)解决分析 域内含有大量孔洞特征的问题;比利时学者提出用
HSM
Singular elementof Membraneplate
)解决实际开裂问题。

FEM
应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,
FEM
也从分析比 较向优化
设计方向发展。印度
Mahanty
博士用
ASYS
对拖拉机前桥进行优化 设计,结果不但降低
了约
40%
的前桥自重,还避免了在制造过程中的大量焊接 工艺,降低了生产成本。
(
the Hybrid metis
FEM
在国内的应用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限 元程序系

JIGFEX
后,有限元法渗透到工程分析的各个领域中,从大型的三 峡工程到微米级器件
都采用
FEM
进行分析,在我国经济发展中拥有广阔的发展 前景。
4


目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时,为了估计并控制误差
用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差
,

,
与传统算法不
同,将网格自适应过程分成均匀化和变密度化
2
个迭代过程。在均匀化迭代过 程中,采用
均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分,以便得到一个合适的起始 均匀网格;在变密度化
迭代过程中只进行网格的细化操作,并充分利用上一次 迭代的结果,在单元所在的曲边三
角形区域内部进行局部网格细化,保证了全 局网格尺寸分布的合理性,使得不同尺寸的网
格能光滑衔接,从而提高网格质 量。整个方案简单易行,稳定可靠,数次迭代即可快速收

理,质量高。
,
生成的网格布局合
2.1
有限元法的国内外研究现状
FEM
作为求解数学物理问题的一种数值方法,已经历了
50
余年的发展。
20
世纪
50
年代,它作为处理固体力学问题的方法出现。
1943
年,
Courant
第一 次提出单
元概念。
1945~1955

,Argyris
等人在结构矩阵分析方面取得了很大进 展。
1956
年,
Turner

Clough
等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平 面问题。
1960

,Clough
首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”
,
并描绘为“有限元法
=
Rayleigh Ritz

+
分片函数”。几乎与此同时
,
我国数 学家冯康也独立提出了类似方法。
FEM
理论研究的重大进展,引起了数学界的 高度重视。自
20
世纪
60
年代以来
,
人们加
强了对
FEM
数学基础的研究。如大 型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分
析、解的收敛性和稳定性 等。
FEM
理论研究成果为其应用奠定了基础
,
计算机技术的发展
为其提供了条件。
20
世纪
70
年代以来,相继出现了一些通用的有限元分析
(FEA: Finite Element
Analysis)
系统


SAP

ASKA

ASTRA
等,这些
FEA
系统可进行航空航天 领域的
结构强度、刚度分析
,
从而推动了
FEM
在工程中的实际应用。
20
世纪
80
年代以来,随
着工程工作站的出现和广泛应用
,
原来运行于大中型机上的
FEA
系统得以在其上运行,同
时也出现了一批通用的
FEA
系统
,

ASYS- PC

ISA,SUPERSAP
等。
20
世纪
90
年代以来
,
随着微机性能的显著提高,大 批
FEA
系统纷纷向微机移植,出现了基于
Windows
的微机版
FEA
系统。经过 半个多世纪的发展
,FEM
已从弹性力学平面问题扩展
到空间问题、板壳问题
;
从 静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题
;
从线性问题扩
展到非线性问题; 从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领
5


域;从单 一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到 复
杂的发展过程
,
目前已成为工程计算最有效的办法之一。
2.2
有限元法的网格化分发展 作为有限元走向工程应用枢纽的有限元网格划分,是有限元
法的一个非常 重要的研究领域,经历了
40
多年的发展历程。有限元网格划分算法研究中
的 某些难点问题始终未能得到真正意义上的解决,它们的解决对工程问题具有重 要的现实
价值和理论意义。有限元分析的基本过程可分为三个阶段:有限元模 型的建立(即前处
理)、有限元解算、结果处理和评定(即后处理)。根据经验
,
有限元分析各阶段所用的时
间为:
40%-45%
用于模型的前处理,
50%-55%
用于 后处理,而分析计算只占
5%

右; 更有指出有限元建模占有限元分析一半以 上的工作量
,
甚至高达
80%
。因此,有限
元分析的前后处理一直都是有限元分 析的瓶颈问题,严重地阻碍着有限元分析技术的应用
和发展。许多学者对有限 元网格生成方法近
30
年的研究进行了概括和总结,对某些重要
分支领域的研 究进展方面也做出了贡献。近年来
,
有限元网格生成方法研究有两个显著特
点:

1
)经历了一个进化过程,一些方法的研究与应用出现停滞,而另外一些方法 在不断地深
入、完善和发展,成为适应性强、应用范围广泛的通用方法; (
2
) 领域和主题在不断扩
展和深入,研究重点由二维平面问题转移到三维曲面和三 维实体问题,从三角形、四面体
网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动 生成。
3
有限元法的应用
有限元法最初应用在求解结构的平面问题上
,
发展至今,已由二维问题扩展
6


到三维问题、板壳问题,由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题,由结 构力学扩展
到流体力学、电磁学、传热学等学科,由线性问题扩展到非线性问 题,由弹性材料扩展到
弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料,从航空技 术领域扩展到航天、土木建筑、机
械制造、水利工程、造船、电子技术及原子 能等,由单一物理场的求解扩展到多物理场的
耦合,其应用的深度和广度都得 到了极大的拓展。
3.1
有限元法的应用过程
FEM
应用于实际问题须经历以下过程,如图
1
所示
有限元建模
已知问题








有限元建模

1. FEM
的应用过程

1
) 问题的数学描述。对问题客观规律的数学描述

通常是微分方程及边 界条
7




是建立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数 学模型建立
的。常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客 观现象的数学描述。

2
) 有限元方程的建立。利用变分原理

通过离散、单元分析、整体分析 等过


建立数学模型的有限元方程,它通常是一组易于用数值方法求解的代数 方程。

3
) 算法研究。有限元方程的计算量庞大,须有有效的算法来保证计算效 率和精
度,同时考虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波 前法,求解大型特
征值问题的分块
La nczos
法等。

4
) 程序开发。数值计算依赖于计算机

因此求解算法需用相应的计算程 序来实
现。

5
) 有限元建模。对应于
FEA
系统的前处理

Pr&processing
。它为数值计
算提供所有原始输入数据

节点数据、单元数据和边界条件数据

。因为模型形 式直接决
定计算精度和规模,且建模所需时间约占整个
FEA

70%
左右,所以
建模质量和效率是
FEA
的关键。图
2
列出了有限元建模中的关键技术。

2
有限元建模的关键技术
(6) 数值计算。对应于
FEA
系统的计算
(
Solving)
。它由一系列计算程序 组成
,
计算
程序又称求解器
(
solver)
。每个求解器完成特定类型的计算。因此求解 器越多
,
系统功能越
强。
(7) 结果处理。对应于
FEA
系统的后处理
(Post-processing
。它对计算结 果进行处
理、显示、运算和列表等。若按照
(1)~(7)
过程
,
问题得以解决,则
FEM
应用结束
;
反之
,

需根据求解结果提出改进方案
,
循环执行
(5)~(7)
过程
,
直至问题 解决或得到最佳设计。对于
8


一个全新的问题
,
必须从第一步开始。而对已知的问 题,可从第
(5)
步开始,即直接利用已
有的
FEA
系统
,
建立有限元模型。在实际 应用中,绝大多数问题都属于第二类问题。
3.2
有限元法的应用领域
FEM
最早应用于固体力学领域
,
但由于其解决问题的有效性和实用性,很快 推广应用
于温度场、电磁场、流场、声场等连续介质领域。目前
FEM
的应用领 域主要包括:
(
1
)静力分析。包括线性非线性静力分析。线性静力分析研究线弹性结构 的变形和
应力,它是工程结构分析和设计中最基本的方法。非线性结构静力分 析主要研究外载作用
下引起的非线性响应,其中非线性来源主要是材料非线性、 几何非线性和边界条件非线性
3
大类。
(
2
)动力分析。主要包括以下分析类型:
1)
模态分析。用于求解多自由度系统的模态参数。为计算得到的计算机主 板的前三
阶振型。
2)
瞬态响应分析。求解在时域内结构承受随时间变化的载荷和速度作用时 的动力响
应。
3)
简谐响应分析。对简谐激励结构在其平衡位置的振动进行分析。
4)
频谱响应分析和随机振动分析。用于分析结构受已知频率激励时的最大 响应。
5)
屈曲和失稳分析。分析考察结构的极限承载能力,研究结构总体或局部 的稳定
性,获得结构失稳形态和失稳路径。
6)
自动接触分析。用于接触边界定义和摩擦分析。
(
3
)失效和破坏分析。包括断裂分析(线弹性断裂分析和弹塑性断裂分析)
、裂纹萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。

4
)热传导分析。包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫 对流及温
度的耦合分析。

5
)电磁场分析。它用于对电磁场中电感、电容、磁通量密度、涡流、电 场分布、
磁力线分布、能量损失等物理量进行分析。

6
)声场分析。它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题
在流体中的固体结构的动态特性。

7
)研究流体速度、压强、密度变化规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流 体中运动
物体所受阻力及其它热力学性质。
9
,
或分析浸



8
)耦合场分析。考虑两种或两种以上物理场的交叉作用和相互影响





3.3
有限元法的应用的热点和前景
随着
FEM
研究的深入,过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题,都 得到了新
的解决方案。传统的
FEM
假设:分析域是无限的;材料是同质的
,
甚 至在大部分的分析中
认为材料是各向同性的
;
对边界条件简化处理。但实际问题 往往是分析域有限、材料各向异
性或边界条件难以确定等。为解决这类问题, 美国的
heofanis Strouboulis & LinZhang
等人提出用
GFEM (Generalized Finite Eleme nt Method)
解决分析域内含有大量孔洞
特征的问题;比利时的
guye n
Dang Hung
和越南的
Tran Thanh goc
提出用
HSM (the Hybrid metis Singular
element of Membrane plate)
解决实际开裂问题

结构尺寸有限

形状任意

边界条件
复杂
,
材料特性任意

。传统的有限元断裂力学技术
(the finite element
fracturemechanics techniques
在解决零件中出现裂缝这类问题时,需要在曲线型 裂纹前
缘附近的区域细分网格。这样无论是从网格生成的角度看还是从求解的 角度看,都需要花
费大量的时间。而且在循环加载的情况下产生的次裂纹将会 使分析变得更加复杂。为此,
美国的
Daniel S Pipkinsay & Satya Atlurib
提出 了
FEAM(Finite Element
Alternating Method)
。该方法在求解应力集中因子时, 可在不牺牲精度的情况下节省时
间,用它分析具有椭圆裂纹或部分椭圆裂纹的 结构是很有用的。
此外,西班牙的
OnateE
和波兰的
RojekJ

DEM(Discrete ElementMethod)

FEM
结合解决地质力学中的动态分析问题
;
瑞典的
Birgersson
Finnveden S
针对
FEM
在频域中的应用提出了
SFEM (Spectral Finite
ElementMethod)

F
和英国的

FEM
应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,
FEM
也从分析比 较向优化
设计方向发展。印度
Mahanty
博士用
ASYS
对拖拉机前桥进行优化 设计,结果不但降低
了约
40%
的前桥自重
,
还避免了在制造过程中的大量焊接工 艺,降低了生产成本。
FEM
在国内的应用也十分广泛。
20
世纪
80
年代我国大连理工大学工程力 学研究所
开发成功了国内第一个通用有限元程序系统
JIGFEX
,并在
1983
年开 发出了它的微机版
JIGFEX-W
。目前
,FEM
已渗透到工程分析的各个领域

从大 型的三峡工程到微米级器件
都采用
FEM
进行分析。它在我国经济发展中拥有广 阔的发展前景。
10


FEM
的研究热点目前表现在两个方面
:
超收敛应力计算和有限元模型修正技 术。
11


有限元方法的发展及应用
摘 要:有限元法是一种高效能、常用的计算方法。有限元法在早期是以变分 原理为基础发
展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描 述的各类物理场中。自从
1969
年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法 中的迦辽金法或最小二乘法等同样获
得了有限元方程,因而有限元法可应用于 以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再
要求这类物理场和泛函的极值 问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛
函的极值问题。
1
有限元法介绍
1.1
有限元法定义
有限元法(
FEA
,
Finite Element Analysis
)的基本概念是用较简单的问题代 替复杂
问题后再求解。它是起源于
20
世纪
50
年代末
60
年代初兴起的应用数学、 现代力学及
计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。
有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域 组成,对每
一单元假定一个合适的

较简单的)近似解,然后推导求解这个域总 的满足条件

如结
构的平衡条件),从而得到问题的解。这个解不是准确解,而 是近似解,因为实际问题被
较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得 到准确解,而有限元不仅计算精度高,
而且能适应各种复杂形状,因而成为行 之有效的工程分析手段。有限元法最初应用在工程
科学技术中
,
用于模拟并且解 决工程力学、热学、电磁学等物理问题。
1.2
有限元法优缺点
有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法,与其它数值方 法相比,它
具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容 易编程、成熟的大型商
用软件较多等优点。

1
)概念浅显,容易掌握,可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理 解,既
可以通过非常直观的物理解释来理解,也可以建立基于严格的数学理论 分析。

2
)有很强的适用性,应用范围极其广泛。它不仅能成功地处理线性弹性 力学问题、费
均质材料、各向异性材料、非线性应立
-
应变关系、大变形问题、 动力学问题已及复杂非
1


线性边界条件等问题,而且随着其基本理论和方法的逐 步完善和改进,能成功地用来求解
如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类 线性、非线性问题。他几乎适用于求解所有的
连续介质和场问题,以至于目前 开始向纳米量级的分子动力学渗透。

3
)有限元法采用矩阵形式表达,便于编制计算机软件。这样,不仅可以 充分利用高
速计算机所提供的方便,使问题得以快速求解,而且可以使求解问 题的方法规范化、软件
商业化,为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。
但是,在求解一些特殊问题,特别是间断问题时,有限元方法存在着某些 固有的缺
陷。例如:

1
)有限元采用的是连续性的位移近似函数,对于裂纹类强间断问题,为 获得足够的
计算精度,需要对网格进行足够的细分,计算量极大。

2
)在采用拉格朗日法求解金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局 部剪切等涉
及特大变形问题时,有限元网格可能会产生严重扭曲,使计算精度 急剧下降甚至计算无法
继续,因此,需要不断地进行网格重构,计算量极大。 同时,为了模拟裂纹的动态扩展过
程,也需要不断地进行网格重构。

3
)在处理夹杂问题时,单元的边须位于夹杂与基体的界面处,即使对于 网格自动化
程度很高的二维问题这也很不容易,而三维问题则更复杂。
1.3
有限元法的派生
有限元法作为数值方法中的基础方法,有其一定的使用范围,也由于一定 的弊端决定
了其不完全通用性。在有限元方法基础上,发展出有其特殊使用范 围的更精准的派生数值
方法,下面介绍几种重要的数值方法。
1.3.1
有限差分法
有限差分法(
FDM
,
Finite Differenee Method
)已经发展的一些近似数值分 析方法
中,最初常用的是有限差分法,它可以处理一些相当困难的问题。但对 于几何形状复杂的
边界条件,其解的精度受到限制,甚至发生困难。作为
60
年 代最重要的科技成就之一的
有单元法。在理论和工程应用上都得到迅速发展, 几乎所有用经典力学解析方法难以解决
的工程力学问题郁可以用有限元方法求 解。它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组
合体,解析地模拟或逼近求 解区域。由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起,且单
元本身又可有不 同的几何形状,因此可以适应几何形状复杂的求解域。有限元的另一特点
是利 用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。单元内 的近似
2


函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达,这就使未 知场函数的结点值
成为新的未知量,把一个连续的无限自由度问题变成离散的 有限自由度问题,只要结点来
知量解出,便可以确定单元组合体上的场函数。 随着单元数目的增加,近似解收敛于精确
解。但是有限元方法常常需要很大的 存贮容量,甚至大得无法计算;由于相邻界面上只能
位移协调,对于奇异性问 题(应力出现间断)的处理比较麻烦。这是有限单元法的不足之
处。
1.3.2
边界元法
边界元法(
BEM
,
Boundary Element Method
)是在有限元法之后发展起来
的一种较精确有效的工程数值分析方法。与有限元法在连续体域内划分单元的 基本思想不
同,边界元法是在定义域的边界上划分单元,用满足控制方程的函 数去逼近边界条件,通
过对边界分元插值离散,化为代数方程组求解。降低了 问题的维数,可用较简单的单元准
确地模拟边界形状,利用微分算子的解析的 基本解作为边界积分方程的核函数,而具有解
析与数值相结合的特点,通常具 有较高的精度。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存
在相应微分算子的基 本解为前提,对于非均匀介质等问题难以应用,故其适用范围远不如
有限元法 广泛,而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵,对解题规 模
产生较大限制。上述两种数值方法的主要区别在于,边界元法是 “边界”方法, 而有限元
法是“区域”方法,但都是针对连续介质而言,只能获得某一荷载或 边界条件下的稳定
解。对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得 多,更无法进行大变形、分
离、回转及塌落过程的模拟。这就使得人们去探索 和寻求适合模拟节理岩体和颗粒散体运
动变形特性的有效数值方法。
1.3.3
离散元法
离散元法(
DEM
,
Distinct ElementMethod
)是由
Cundall PA (1971)
首先提
出并应用于岩土体稳定性分析的一种数值分析方法。它是一种动态的数值分析 方法
,
可以用
来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点
,
因而
,
也就成为 目前较为流行的一种岩
土体稳定性分析数值方法。该方法在进行计算时
边坡岩体划分为若干刚性块体
,
首先将
(
目前已可以考虑块体的弹性变形
) ,
以牛顿第二
运动定律为基础
,
结合不同本构关系
,
考虑块体受力后的运动及由此导致的受力状 态和块体
运动随时间的变化。它允许块体间发生平动、转动
,
甚至脱离母体下落
,
结合
CAD
技术可
以在计算机上形象地反应出边坡岩体中的应力场、位移及速 度等力学参量的全程变化。该
方法对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体 比较适合。
3


1.3.4
广义有限元法
广义有限元方法(
GFEM
,
GeneralizedFinite Method
)是常规有限元方法在 思想上
的延伸,它基于单位分解方法
,
通过在结点处引入广义自由度,对结点自 由度进行再次插

,
从而提高有限元方法的逼近精度,或满足对特定问题的特殊 逼近要求。基于广义有限元
方法对单元形状函数构造理论的深入研究,具有任 意内部特征(空洞、夹杂、裂纹等)及外
部特征(凹角、角点、棱边等)的复 杂问题
,
都将在简单、且与区域无关的有限元网格上加以
求解。
1.3.5
扩展有限元法
扩展有限元(
XFEM
,
Extended Finite Element Method
)是在标准有限元方 法的框
架下,提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹杂等间断问题的数值方法。 在有限元的近似
函数中,增加能反映待求问题间断特性的附加函数项,采用水 平集方法(
LSM
)描述间断
面的几何特性及其移动规律。扩展有限元方法与标 准有限元方法相比,具有计算精度高、
勿需网格重构等特点。
2
有限元法的发展
有限元法是
t

1943
年首先提出的。自从提出有限元概念以来

有 限元理
论及其应用得到了迅速发展。过去不能解决或能解决但求解精度不高的 问题,都得到了新
的解决方案。传统的
FEM
假设:分析域是无限的;材料是同 质的,甚至在大部分的分析
中认为材料是各向同性的
;
对边界条件简化处理。但 实际问题往往是分析域有限、材料各向
异性或边界条件难以确定等。为解决这 类问题

美国学者提出用
GFEM
(
Gener-alized
Finite Element Method
)解决分析 域内含有大量孔洞特征的问题;比利时学者提出用
HSM
Singular elementof Membraneplate
)解决实际开裂问题。

FEM
应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,
FEM
也从分析比 较向优化
设计方向发展。印度
Mahanty
博士用
ASYS
对拖拉机前桥进行优化 设计,结果不但降低
了约
40%
的前桥自重,还避免了在制造过程中的大量焊接 工艺,降低了生产成本。
(
the Hybrid metis
FEM
在国内的应用也十分广泛。自从我国成功开发了国内第一个通用有限 元程序系

JIGFEX
后,有限元法渗透到工程分析的各个领域中,从大型的三 峡工程到微米级器件
都采用
FEM
进行分析,在我国经济发展中拥有广阔的发展 前景。
4


目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时,为了估计并控制误差
用基于后验误差估计的自适应有限元法。基于后处理法计算误差
,

,
与传统算法不
同,将网格自适应过程分成均匀化和变密度化
2
个迭代过程。在均匀化迭代过 程中,采用
均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分,以便得到一个合适的起始 均匀网格;在变密度化
迭代过程中只进行网格的细化操作,并充分利用上一次 迭代的结果,在单元所在的曲边三
角形区域内部进行局部网格细化,保证了全 局网格尺寸分布的合理性,使得不同尺寸的网
格能光滑衔接,从而提高网格质 量。整个方案简单易行,稳定可靠,数次迭代即可快速收

理,质量高。
,
生成的网格布局合
2.1
有限元法的国内外研究现状
FEM
作为求解数学物理问题的一种数值方法,已经历了
50
余年的发展。
20
世纪
50
年代,它作为处理固体力学问题的方法出现。
1943
年,
Courant
第一 次提出单
元概念。
1945~1955

,Argyris
等人在结构矩阵分析方面取得了很大进 展。
1956
年,
Turner

Clough
等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平 面问题。
1960

,Clough
首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”
,
并描绘为“有限元法
=
Rayleigh Ritz

+
分片函数”。几乎与此同时
,
我国数 学家冯康也独立提出了类似方法。
FEM
理论研究的重大进展,引起了数学界的 高度重视。自
20
世纪
60
年代以来
,
人们加
强了对
FEM
数学基础的研究。如大 型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分
析、解的收敛性和稳定性 等。
FEM
理论研究成果为其应用奠定了基础
,
计算机技术的发展
为其提供了条件。
20
世纪
70
年代以来,相继出现了一些通用的有限元分析
(FEA: Finite Element
Analysis)
系统


SAP

ASKA

ASTRA
等,这些
FEA
系统可进行航空航天 领域的
结构强度、刚度分析
,
从而推动了
FEM
在工程中的实际应用。
20
世纪
80
年代以来,随
着工程工作站的出现和广泛应用
,
原来运行于大中型机上的
FEA
系统得以在其上运行,同
时也出现了一批通用的
FEA
系统
,

ASYS- PC

ISA,SUPERSAP
等。
20
世纪
90
年代以来
,
随着微机性能的显著提高,大 批
FEA
系统纷纷向微机移植,出现了基于
Windows
的微机版
FEA
系统。经过 半个多世纪的发展
,FEM
已从弹性力学平面问题扩展
到空间问题、板壳问题
;
从 静力问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题
;
从线性问题扩
展到非线性问题; 从固体力学领域扩展到流体力学、传热学、电磁学等其他连续介质领
5


域;从单 一物理场计算扩展到多物理场的耦合计算。它经历了从低级到高级、从简单到 复
杂的发展过程
,
目前已成为工程计算最有效的办法之一。
2.2
有限元法的网格化分发展 作为有限元走向工程应用枢纽的有限元网格划分,是有限元
法的一个非常 重要的研究领域,经历了
40
多年的发展历程。有限元网格划分算法研究中
的 某些难点问题始终未能得到真正意义上的解决,它们的解决对工程问题具有重 要的现实
价值和理论意义。有限元分析的基本过程可分为三个阶段:有限元模 型的建立(即前处
理)、有限元解算、结果处理和评定(即后处理)。根据经验
,
有限元分析各阶段所用的时
间为:
40%-45%
用于模型的前处理,
50%-55%
用于 后处理,而分析计算只占
5%

右; 更有指出有限元建模占有限元分析一半以 上的工作量
,
甚至高达
80%
。因此,有限
元分析的前后处理一直都是有限元分 析的瓶颈问题,严重地阻碍着有限元分析技术的应用
和发展。许多学者对有限 元网格生成方法近
30
年的研究进行了概括和总结,对某些重要
分支领域的研 究进展方面也做出了贡献。近年来
,
有限元网格生成方法研究有两个显著特
点:

1
)经历了一个进化过程,一些方法的研究与应用出现停滞,而另外一些方法 在不断地深
入、完善和发展,成为适应性强、应用范围广泛的通用方法; (
2
) 领域和主题在不断扩
展和深入,研究重点由二维平面问题转移到三维曲面和三 维实体问题,从三角形、四面体
网格自动生成转移到四边形、六面体网格自动 生成。
3
有限元法的应用
有限元法最初应用在求解结构的平面问题上
,
发展至今,已由二维问题扩展
6


到三维问题、板壳问题,由静力学问题扩展到动力学问题、稳定性问题,由结 构力学扩展
到流体力学、电磁学、传热学等学科,由线性问题扩展到非线性问 题,由弹性材料扩展到
弹塑性、塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料,从航空技 术领域扩展到航天、土木建筑、机
械制造、水利工程、造船、电子技术及原子 能等,由单一物理场的求解扩展到多物理场的
耦合,其应用的深度和广度都得 到了极大的拓展。
3.1
有限元法的应用过程
FEM
应用于实际问题须经历以下过程,如图
1
所示
有限元建模
已知问题








有限元建模

1. FEM
的应用过程

1
) 问题的数学描述。对问题客观规律的数学描述

通常是微分方程及边 界条
7




是建立有限元方程的前提。单元特性矩阵和整体有限元方程都是基于数 学模型建立
的。常见的弹性力学基本方程、运动方程、热传导方程等都是对客 观现象的数学描述。

2
) 有限元方程的建立。利用变分原理

通过离散、单元分析、整体分析 等过


建立数学模型的有限元方程,它通常是一组易于用数值方法求解的代数 方程。

3
) 算法研究。有限元方程的计算量庞大,须有有效的算法来保证计算效 率和精
度,同时考虑对计算条件的要求。如求解大型线性方程组的带宽法、波 前法,求解大型特
征值问题的分块
La nczos
法等。

4
) 程序开发。数值计算依赖于计算机

因此求解算法需用相应的计算程 序来实
现。

5
) 有限元建模。对应于
FEA
系统的前处理

Pr&processing
。它为数值计
算提供所有原始输入数据

节点数据、单元数据和边界条件数据

。因为模型形 式直接决
定计算精度和规模,且建模所需时间约占整个
FEA

70%
左右,所以
建模质量和效率是
FEA
的关键。图
2
列出了有限元建模中的关键技术。

2
有限元建模的关键技术
(6) 数值计算。对应于
FEA
系统的计算
(
Solving)
。它由一系列计算程序 组成
,
计算
程序又称求解器
(
solver)
。每个求解器完成特定类型的计算。因此求解 器越多
,
系统功能越
强。
(7) 结果处理。对应于
FEA
系统的后处理
(Post-processing
。它对计算结 果进行处
理、显示、运算和列表等。若按照
(1)~(7)
过程
,
问题得以解决,则
FEM
应用结束
;
反之
,

需根据求解结果提出改进方案
,
循环执行
(5)~(7)
过程
,
直至问题 解决或得到最佳设计。对于
8


一个全新的问题
,
必须从第一步开始。而对已知的问 题,可从第
(5)
步开始,即直接利用已
有的
FEA
系统
,
建立有限元模型。在实际 应用中,绝大多数问题都属于第二类问题。
3.2
有限元法的应用领域
FEM
最早应用于固体力学领域
,
但由于其解决问题的有效性和实用性,很快 推广应用
于温度场、电磁场、流场、声场等连续介质领域。目前
FEM
的应用领 域主要包括:
(
1
)静力分析。包括线性非线性静力分析。线性静力分析研究线弹性结构 的变形和
应力,它是工程结构分析和设计中最基本的方法。非线性结构静力分 析主要研究外载作用
下引起的非线性响应,其中非线性来源主要是材料非线性、 几何非线性和边界条件非线性
3
大类。
(
2
)动力分析。主要包括以下分析类型:
1)
模态分析。用于求解多自由度系统的模态参数。为计算得到的计算机主 板的前三
阶振型。
2)
瞬态响应分析。求解在时域内结构承受随时间变化的载荷和速度作用时 的动力响
应。
3)
简谐响应分析。对简谐激励结构在其平衡位置的振动进行分析。
4)
频谱响应分析和随机振动分析。用于分析结构受已知频率激励时的最大 响应。
5)
屈曲和失稳分析。分析考察结构的极限承载能力,研究结构总体或局部 的稳定
性,获得结构失稳形态和失稳路径。
6)
自动接触分析。用于接触边界定义和摩擦分析。
(
3
)失效和破坏分析。包括断裂分析(线弹性断裂分析和弹塑性断裂分析)
、裂纹萌生与扩展分析、跌落分析和疲劳失效分析。

4
)热传导分析。包括稳态热传导分析、瞬态热传导分析、热辐射、强迫 对流及温
度的耦合分析。

5
)电磁场分析。它用于对电磁场中电感、电容、磁通量密度、涡流、电 场分布、
磁力线分布、能量损失等物理量进行分析。

6
)声场分析。它用来研究在含有流体介质中声波的传播问题
在流体中的固体结构的动态特性。

7
)研究流体速度、压强、密度变化规律和粘滞流体的运动规律及粘滞流 体中运动
物体所受阻力及其它热力学性质。
9
,
或分析浸



8
)耦合场分析。考虑两种或两种以上物理场的交叉作用和相互影响





3.3
有限元法的应用的热点和前景
随着
FEM
研究的深入,过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题,都 得到了新
的解决方案。传统的
FEM
假设:分析域是无限的;材料是同质的
,
甚 至在大部分的分析中
认为材料是各向同性的
;
对边界条件简化处理。但实际问题 往往是分析域有限、材料各向异
性或边界条件难以确定等。为解决这类问题, 美国的
heofanis Strouboulis & LinZhang
等人提出用
GFEM (Generalized Finite Eleme nt Method)
解决分析域内含有大量孔洞
特征的问题;比利时的
guye n
Dang Hung
和越南的
Tran Thanh goc
提出用
HSM (the Hybrid metis Singular
element of Membrane plate)
解决实际开裂问题

结构尺寸有限

形状任意

边界条件
复杂
,
材料特性任意

。传统的有限元断裂力学技术
(the finite element
fracturemechanics techniques
在解决零件中出现裂缝这类问题时,需要在曲线型 裂纹前
缘附近的区域细分网格。这样无论是从网格生成的角度看还是从求解的 角度看,都需要花
费大量的时间。而且在循环加载的情况下产生的次裂纹将会 使分析变得更加复杂。为此,
美国的
Daniel S Pipkinsay & Satya Atlurib
提出 了
FEAM(Finite Element
Alternating Method)
。该方法在求解应力集中因子时, 可在不牺牲精度的情况下节省时
间,用它分析具有椭圆裂纹或部分椭圆裂纹的 结构是很有用的。
此外,西班牙的
OnateE
和波兰的
RojekJ

DEM(Discrete ElementMethod)

FEM
结合解决地质力学中的动态分析问题
;
瑞典的
Birgersson
Finnveden S
针对
FEM
在频域中的应用提出了
SFEM (Spectral Finite
ElementMethod)

F
和英国的

FEM
应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时,
FEM
也从分析比 较向优化
设计方向发展。印度
Mahanty
博士用
ASYS
对拖拉机前桥进行优化 设计,结果不但降低
了约
40%
的前桥自重
,
还避免了在制造过程中的大量焊接工 艺,降低了生产成本。
FEM
在国内的应用也十分广泛。
20
世纪
80
年代我国大连理工大学工程力 学研究所
开发成功了国内第一个通用有限元程序系统
JIGFEX
,并在
1983
年开 发出了它的微机版
JIGFEX-W
。目前
,FEM
已渗透到工程分析的各个领域

从大 型的三峡工程到微米级器件
都采用
FEM
进行分析。它在我国经济发展中拥有广 阔的发展前景。
10


FEM
的研究热点目前表现在两个方面
:
超收敛应力计算和有限元模型修正技 术。
11

-

有限元方法的发展及应用

发布时间:2022-03-30 03:36:06
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