xor运算库

文章描述:-2022年2月18日发(作者:gwt)pascal语言中xor是按位异或不是条件判断语句,1 xor 1=0, 0 xor 0=0, 1 xor 0=1, 0 xor 1=1. 去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一,很多人都希望我能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料,学习到了更多关于位运算的知识,有了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运

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xor运算库2022年2月18日发(作者:gwt)


pascal语言中xor是按位异或不是条件判断语句,1 xor 1=0, 0 xor 0=0, 1 xor 0=1, 0 xor 1=1.
去年年底写的关于位运算的日志是这个Blog里少数大受欢迎的文章之一,很多人都希望我
能不断完善那篇文章。后来我看到了不少其它的资料,学习到了更多关于位运算的知识,有
了重新整理位运算技巧的想法。从今天起我就开始写这一系列位运算讲解文章,与其说是原
来那篇文章的follow-up,不如说是一个remake。当然首先我还是从最基础的东西说起。

什么是位运算?
程序中的所有数在计算机内存中都是以二进制的形式储存的。位运算说穿了,就是直接对
整数在内存中的二进制位进行操作。比如,and运算本来是一个逻辑运算符,但整数与整数
之间也可以进行and运算。举个例子,6的二进制是110,11的二进制是1011,那么6 and 11
的结果就是2,它是二进制对应位进行逻辑运算的结果(0表示False,1表示True,空位都
当0处理):
110
AD 1011
----------
0010 --> 2
由于位运算直接对内存数据进行操作,不需要转成十进制,因此处理速度非常快。当然有
人会说,这个快了有什么用,计算6 and 11没有什么实际意义啊。这一系列的文章就将告诉
你,位运算到底可以干什么,有些什么经典应用,以及如何用位运算优化你的程序。


Pascal和C中的位运算符号
下面的a和b都是整数类型,则:
C语言 | Pascal语言
-------+-------------
a & b | a and b
a | b | a or b
a ^ b | a xor b
~a | not a
a << b | a shl b
a >> b | a shr b
注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。520|1314=1834,但520||1314=1,因为逻辑
运算时520和1314都相当于True。同样的,!a和~a也是有区别的。


各种位运算的使用
=== 1. and运算 ===
and运算通常用于二进制取位操作,例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这
可以用来判断一个整数的奇偶,二进制的最末位为0表示该数为偶数,最末位为1表示该数
为奇数.

=== 2. or运算 ===
or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值,例如一个数or 1的结果就是把二进制最
末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0,对这个数or 1之后再减一就可以了,其


实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

=== 3. xor运算 ===
xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作,因为异或可以这样定义:0和1异
或0都不变,异或1则取反。
xor运算的逆运算是它本身,也就是说两次异或同一个数最后结果不变,即(a xor b) xor b =
a。xor运算可以用于简单的加密,比如我想对我MM说1314520,但怕别人知道,于是双
方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500,我就把20665500
告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值,得到1314520,于是她就明白了我
的企图。
下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@(我怎么不到那个圈里有个叉的字符),
这两个符号互为逆运算,也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令,结果是什
么?
x <- x # y

y <- x @ y

x <- x @ y

执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y,由于#和@互为逆运
算,那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x,如果#运算具有
交换律,那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是,x和y的位置互换了。
加法和减法互为逆运算,并且加法满足交换律。把#换成+,把@换成-,我们可以写出一
个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。
procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a + b;

b:=a - b;

a:=a - b;

end;

好了,刚才不是说xor的逆运算是它本身吗?于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap
过程:
procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a xor b;

b:=a xor b;

a:=a xor b;

end;


=== 4. not运算 ===
not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心,你需要注意
整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数(不能表示负数),那么得到的值就是
它与该类型上界的差,因为无符号类型的数是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的两个程
序(仅语言不同)均返回65435。
var

a:word;

begin


a:=100;

a:=not a;

writeln(a);

end.

#include

int main()

{

unsigned short a=100;

a = ~a;

printf(

return 0;

}

如果not的对象是有符号的整数,情况就不一样了,稍后我们会在“整数类型的储存”小节
中提到。

=== 5. shl运算 ===
a shl b就表示把a转为二进制后左移b位(在后面添b个0)。例如100的二进制为1100100,
而110010000转成十进制是400,那么100 shl 2 = 400。可以看出,a shl b的值实际上就是a
乘以2的b次方,因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。
通常认为a shl 1比a * 2更快,因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作
请尽量用左移一位来代替。
定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法
和数据结构要求数据规模必须是2的幂,此时可以用shl来定义Max_等常量。

=== 6. shr运算 ===
和shl相似,a shr b表示二进制右移b位(去掉末b位),相当于a除以2的b次方(取整)。
我们也经常用shr 1来代替div 2,比如二分查、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除
法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的
mod运算,效率可以提高60%。


位运算的简单应用
有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如,做数独时我们需要27
个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时,我们可以用
27个小于2^9的整数进行记录。例如,一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示(二
进制为000010010),而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们
不需要把这个数转成二进制修改后再转回去,而是直接进行位操作。在搜索时,把状态表示
成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我
们会看到更多的例子。
下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

功能 | 示例 | 位运算
----------------------+---------------------------+--------------------
去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1

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发布时间:2022-02-18 22:55:52
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